Solution 1 to problem over
Remaining equations |
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
Back to problem over
Equations
The following unsolved equations remain:
2 2 2
0=a11 - 2*a11*a22 + a22 + a23
Expressions
The solution is given through the following expressions:
1 3 2 3 2 2 2
r20=(----*a11 *a22*b32 *r213 - ----*a11 *a22 *b32 *r213
16 16
1 2 2 2 3 3 2
+ ----*a11 *a23 *b32 *r213 + ----*a11*a22 *b32 *r213
16 16
1 2 2 1 4 2
- ---*a11*a22*a23 *b32 *r213 - ----*a22 *b32 *r213
8 16
1 2 2 2 2 3 5
+ ----*a22 *a23 *b32 *r213)/(a11*a22 *a23 + a11*a23 )
16
1 3 2 1 2 2 5 2 2
r21=( - ----*a11 *b32 *r213 + ---*a11 *a22*b32 *r213 - ----*a11*a22 *b32 *r213
16 4 16
1 3 2 2 2 4
+ ---*a22 *b32 *r213)/(a11*a22 *a23 + a11*a23 )
8
r23=0
r24=0
1 4 2 1 3 2
r25=( - ----*a11 *a22*b32 *r213 - ---*a11 *a22 *a23*c23*r213
32 2
5 3 2 2 1 3 3
+ ----*a11 *a22 *b32 *r213 - ---*a11 *a23 *c23*r213
32 2
1 3 2 2 2 3
+ ----*a11 *a23 *b32 *r213 + a11 *a22 *a23*c23*r213
32
9 2 3 2 2 3
- ----*a11 *a22 *b32 *r213 + a11 *a22*a23 *c23*r213
32
3 2 2 2 1 4
- ----*a11 *a22*a23 *b32 *r213 - ---*a11*a22 *a23*c23*r213
16 2
7 4 2 2 3
+ ----*a11*a22 *b32 *r213 - a11*a22 *a23 *c23*r213
32
11 2 2 2 1 5
+ ----*a11*a22 *a23 *b32 *r213 - ---*a11*a23 *c23*r213
32 2
1 5 2 3 3 2 2 2 2 3
- ----*a22 *b32 *r213 - ----*a22 *a23 *b32 *r213)/(a11 *a22 *a23
16 16
2 5 3 3 5
+ a11 *a23 - 2*a11*a22 *a23 - 2*a11*a22*a23 )
1
---*a11*b32*r213 - a22*b32*r213
2
r26=---------------------------------
2 2
a22 + a23
1 2 1 1 2
---*a11 *b32*r213 - ---*a11*a22*b32*r213 + ---*a23 *b32*r213
4 4 2
r27=--------------------------------------------------------------
2 3
a22 *a23 + a23
r28=0
1 2 1 2
- ---*a11 *r213 + ---*a11*a22*r213 - a23 *r213
2 2
r29=-------------------------------------------------
a11*a23 - 2*a22*a23
1 2 3 1 2
- ---*a11 *b32*r213 + ---*a11*a22*b32*r213 - ---*a22 *b32*r213
4 4 2
r210=-----------------------------------------------------------------
2 3
a22 *a23 + a23
r212=0
1 1
- ---*a11*r213 + ---*a22*r213
2 2
r214=--------------------------------
a23
r215=0
r216=0
1 2 1 2 1 2
r217=(---*a11 *a22*b32*r213 - ---*a11*a22 *b32*r213 + ---*a11*a23 *b32*r213
4 2 4
1 3 1 2 2 2 4
+ ---*a22 *b32*r213 - ---*a22*a23 *b32*r213)/(a22 *a23 + a23 )
4 4
r218=0
r219=0
1 4 2 5 3 2 2 1 3 2 2
c33=( - ---*a11 *a22*b32 + ----*a11 *a22 *b32 - ----*a11 *a23 *b32
8 16 16
2 3 1 2 3 2 2 3
- a11 *a22 *a23*c23 + ---*a11 *a22 *b32 - a11 *a22*a23 *c23
8
1 2 2 2 4 11 4 2
+ ---*a11 *a22*a23 *b32 + a11*a22 *a23*c23 - ----*a11*a22 *b32
8 16
3 2 2 2 5 3 5 2
- ----*a11*a22 *a23 *b32 - a11*a23 *c23 + ---*a22 *b32
16 8
3 3 2 2 2 2 2 2 4 3 2
+ ---*a22 *a23 *b32 )/(a11 *a22 *a23 + a11 *a23 - 2*a11*a22 *a23
8
4
- 2*a11*a22*a23 )
1 4 2 11 3 2 2 1 3 2 2
c22=(---*a11 *a22*b32 - ----*a11 *a22 *b32 - ----*a11 *a23 *b32
8 16 16
2 3 11 2 3 2 2 3
+ a11 *a22 *a23*c23 + ----*a11 *a22 *b32 + a11 *a22*a23 *c23
8
3 2 2 2 4 19 4 2
+ ---*a11 *a22*a23 *b32 - a11*a22 *a23*c23 - ----*a11*a22 *b32
8 16
11 2 2 2 5 3 5 2
- ----*a11*a22 *a23 *b32 + a11*a23 *c23 + ---*a22 *b32
16 8
3 3 2 2 2 2 2 2 4 3 2
+ ---*a22 *a23 *b32 )/(a11 *a22 *a23 + a11 *a23 - 2*a11*a22 *a23
8
4
- 2*a11*a22*a23 )
c13=0
c12=0
a11*b32 - a22*b32
b33=-------------------
a23
b31=0
b21=0
1 1
---*a11*b32 - ---*a22*b32
2 2
b11=---------------------------
a23
2
- a11*a22 - 2*a23
a33=---------------------
a11 - 2*a22
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r213, c23, b32, a11, a22, a23
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
2 2 2 2
{32*a11*a22*a23*c23 - 2*a11*a22*b32 - 16*a22 *a23*c23 + 2*a22 *b32
3 2 2
- 16*a23 *c23 + a23 *b32 ,
a11 - 2*a22,
2
a11*a22 + 2*a23 ,
a23,
a22,
a11,
r213,
b32,
c23,
2 2
a22 + a23 }
Relevance for the application:
Modulo the following equation:
2 2 2
0=a11 - 2*a11*a22 + a22 + a23
the system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 3 2 2 3 4 2 3 2 2 4
HAM=(u1 *(a11 *a22 *a23 + a11 *a23 - 2*a11 *a22 *a23 - 2*a11 *a22*a23 ) + u1
1 3 2 1 3 3 3 2 3
*v1*(---*a11 *a22 *a23*b32 + ---*a11 *a23 *b32 - ---*a11 *a22 *a23*b32
2 2 2
3 2 3 4 2 3
- ---*a11 *a22*a23 *b32 + a11*a22 *a23*b32 + a11*a22 *a23 *b32)
2
2 2 3 2 2 4 4 2 2 4
+ u2 *(a11 *a22 *a23 + a11 *a22*a23 - 2*a11*a22 *a23 - 2*a11*a22 *a23 )
+ u2*u3
2 2 3 2 5 3 3 5
*(2*a11 *a22 *a23 + 2*a11 *a23 - 4*a11*a22 *a23 - 4*a11*a22*a23 )
2 2 3 2 2 4 2 4 6
+ u3 *( - a11 *a22 *a23 - a11 *a22*a23 - 2*a11*a22 *a23 - 2*a11*a23 ) +
2 2 2 2 4 3 2
u3*v2*(a11 *a22 *a23 *b32 + a11 *a23 *b32 - 2*a11*a22 *a23 *b32
4 3 2 3 3
- 2*a11*a22*a23 *b32) + u3*v3*(a11 *a22 *a23*b32 + a11 *a23 *b32
2 3 2 3 4
- 3*a11 *a22 *a23*b32 - 3*a11 *a22*a23 *b32 + 2*a11*a22 *a23*b32
2 3 2 1 4 2 11 3 2 2
+ 2*a11*a22 *a23 *b32) + v2 *(---*a11 *a22*b32 - ----*a11 *a22 *b32
8 16
1 3 2 2 2 3 11 2 3 2
- ----*a11 *a23 *b32 + a11 *a22 *a23*c23 + ----*a11 *a22 *b32
16 8
2 3 3 2 2 2 4
+ a11 *a22*a23 *c23 + ---*a11 *a22*a23 *b32 - a11*a22 *a23*c23
8
19 4 2 11 2 2 2 5
- ----*a11*a22 *b32 - ----*a11*a22 *a23 *b32 + a11*a23 *c23
16 16
3 5 2 3 3 2 2 2 2 2
+ ---*a22 *b32 + ---*a22 *a23 *b32 ) + v2*v3*(2*a11 *a22 *a23 *c23
8 8
2 4 3 2 4 2
+ 2*a11 *a23 *c23 - 4*a11*a22 *a23 *c23 - 4*a11*a22*a23 *c23) + v3 *(
1 4 2 5 3 2 2 1 3 2 2
- ---*a11 *a22*b32 + ----*a11 *a22 *b32 - ----*a11 *a23 *b32
8 16 16
2 3 1 2 3 2 2 3
- a11 *a22 *a23*c23 + ---*a11 *a22 *b32 - a11 *a22*a23 *c23
8
1 2 2 2 4 11 4 2
+ ---*a11 *a22*a23 *b32 + a11*a22 *a23*c23 - ----*a11*a22 *b32
8 16
3 2 2 2 5 3 5 2
- ----*a11*a22 *a23 *b32 - a11*a23 *c23 + ---*a22 *b32
16 8
3 3 2 2 2 2 2 2 4 3 2
+ ---*a22 *a23 *b32 ))/(a11 *a22 *a23 + a11 *a23 - 2*a11*a22 *a23
8
4
- 2*a11*a22*a23 )
has apart from the Hamiltonian and Casimirs only the following first integral:
1 4 3 2 1 3 3
FI=u1*v1*(---*a11 *a22*a23*b32 - a11 *a22 *a23*b32 + ---*a11 *a23 *b32
4 4
5 2 3 3 2 3
+ ---*a11 *a22 *a23*b32 - ---*a11 *a22*a23 *b32
4 4
1 4 1 2 3 2
- ---*a11*a22 *a23*b32 + ---*a11*a22 *a23 *b32) + u2 *(
2 2
1 3 2 2 1 3 4 3 2 3 2
- ---*a11 *a22 *a23 - ---*a11 *a23 + ---*a11 *a22 *a23
2 2 2
3 2 4 4 2 2 4
+ ---*a11 *a22*a23 - a11*a22 *a23 - a11*a22 *a23 )
2
2 2 3 2 5 3 3 5
+ u2*u3*(a11 *a22 *a23 + a11 *a23 - 2*a11*a22 *a23 - 2*a11*a22*a23 ) + u2
1 4 2 5 3 2 2 2 2
*v3*( - ---*a11 *a23 *b32 + ---*a11 *a22*a23 *b32 - 2*a11 *a22 *a23 *b32
4 4
3 2 2 1 3 2 2 1 3 4
+ a11*a22 *a23 *b32) + u3 *( - ---*a11 *a22 *a23 - ---*a11 *a23
2 2
1 2 3 2 1 2 4 2 4 6
+ ---*a11 *a22 *a23 + ---*a11 *a22*a23 - a11*a22 *a23 - a11*a23 ) + u3
2 2
1 4 2 3 3 2 1 2 2 2
*v2*(---*a11 *a23 *b32 - ---*a11 *a22*a23 *b32 + ---*a11 *a22 *a23 *b32
4 4 2
1 2 4 4
+ ---*a11 *a23 *b32 - a11*a22*a23 *b32)
2
1 3 3 2 3 2 3
+ u3*v3*(---*a11 *a23 *b32 - 2*a11 *a22*a23 *b32 + 2*a11*a22 *a23 *b32) +
2
2 1 4 2 1 3 2 5 3 2 2
v1 *( - ----*a11 *a22*b32 - ---*a11 *a22 *a23*c23 + ----*a11 *a22 *b32
32 2 32
1 3 3 1 3 2 2 2 3
- ---*a11 *a23 *c23 + ----*a11 *a23 *b32 + a11 *a22 *a23*c23
2 32
9 2 3 2 2 3 3 2 2 2
- ----*a11 *a22 *b32 + a11 *a22*a23 *c23 - ----*a11 *a22*a23 *b32
32 16
1 4 7 4 2 2 3
- ---*a11*a22 *a23*c23 + ----*a11*a22 *b32 - a11*a22 *a23 *c23
2 32
11 2 2 2 1 5 1 5 2
+ ----*a11*a22 *a23 *b32 - ---*a11*a23 *c23 - ----*a22 *b32
32 2 16
3 3 2 2 1 4 2
- ----*a22 *a23 *b32 ) + v2*v3*( - ----*a11 *a23*b32
16 16
3 3 2 13 2 2 2 3 3 2
+ ---*a11 *a22*a23*b32 - ----*a11 *a22 *a23*b32 + ---*a11*a22 *a23*b32
8 16 4
1 4 2 2 1 4 2 5 3 2 2
- ---*a22 *a23*b32 ) + v3 *(----*a11 *a22*b32 - ----*a11 *a22 *b32
4 16 16
1 3 2 2 9 2 3 2 1 2 2 2
+ ----*a11 *a23 *b32 + ----*a11 *a22 *b32 - ---*a11 *a22*a23 *b32
16 16 4
7 4 2 5 2 2 2 1 5 2
- ----*a11*a22 *b32 + ----*a11*a22 *a23 *b32 + ---*a22 *b32
16 16 8
1 3 2 2
- ---*a22 *a23 *b32 )
8
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=(u1**2*(a11**3*a22**2*a23**2 + a11**3*a23**4 - 2*a11**2*a22**3*a23**2 - 2*
a11**2*a22*a23**4) + u1*v1*(1/2*a11**3*a22**2*a23*b32 + 1/2*a11**3*a23**3*b32 -
3/2*a11**2*a22**3*a23*b32 - 3/2*a11**2*a22*a23**3*b32 + a11*a22**4*a23*b32 + a11
*a22**2*a23**3*b32) + u2**2*(a11**2*a22**3*a23**2 + a11**2*a22*a23**4 - 2*a11*
a22**4*a23**2 - 2*a11*a22**2*a23**4) + u2*u3*(2*a11**2*a22**2*a23**3 + 2*a11**2*
a23**5 - 4*a11*a22**3*a23**3 - 4*a11*a22*a23**5) + u3**2*( - a11**2*a22**3*a23**
2 - a11**2*a22*a23**4 - 2*a11*a22**2*a23**4 - 2*a11*a23**6) + u3*v2*(a11**2*a22
**2*a23**2*b32 + a11**2*a23**4*b32 - 2*a11*a22**3*a23**2*b32 - 2*a11*a22*a23**4*
b32) + u3*v3*(a11**3*a22**2*a23*b32 + a11**3*a23**3*b32 - 3*a11**2*a22**3*a23*
b32 - 3*a11**2*a22*a23**3*b32 + 2*a11*a22**4*a23*b32 + 2*a11*a22**2*a23**3*b32)
+ v2**2*(1/8*a11**4*a22*b32**2 - 11/16*a11**3*a22**2*b32**2 - 1/16*a11**3*a23**2
*b32**2 + a11**2*a22**3*a23*c23 + 11/8*a11**2*a22**3*b32**2 + a11**2*a22*a23**3*
c23 + 3/8*a11**2*a22*a23**2*b32**2 - a11*a22**4*a23*c23 - 19/16*a11*a22**4*b32**
2 - 11/16*a11*a22**2*a23**2*b32**2 + a11*a23**5*c23 + 3/8*a22**5*b32**2 + 3/8*
a22**3*a23**2*b32**2) + v2*v3*(2*a11**2*a22**2*a23**2*c23 + 2*a11**2*a23**4*c23
- 4*a11*a22**3*a23**2*c23 - 4*a11*a22*a23**4*c23) + v3**2*( - 1/8*a11**4*a22*b32
**2 + 5/16*a11**3*a22**2*b32**2 - 1/16*a11**3*a23**2*b32**2 - a11**2*a22**3*a23*
c23 + 1/8*a11**2*a22**3*b32**2 - a11**2*a22*a23**3*c23 + 1/8*a11**2*a22*a23**2*
b32**2 + a11*a22**4*a23*c23 - 11/16*a11*a22**4*b32**2 - 3/16*a11*a22**2*a23**2*
b32**2 - a11*a23**5*c23 + 3/8*a22**5*b32**2 + 3/8*a22**3*a23**2*b32**2))/(a11**2
*a22**2*a23**2 + a11**2*a23**4 - 2*a11*a22**3*a23**2 - 2*a11*a22*a23**4)$
FI=u1*v1*(1/4*a11**4*a22*a23*b32 - a11**3*a22**2*a23*b32 + 1/4*a11**3*a23**3*b32
+ 5/4*a11**2*a22**3*a23*b32 - 3/4*a11**2*a22*a23**3*b32 - 1/2*a11*a22**4*a23*
b32 + 1/2*a11*a22**2*a23**3*b32) + u2**2*( - 1/2*a11**3*a22**2*a23**2 - 1/2*a11
**3*a23**4 + 3/2*a11**2*a22**3*a23**2 + 3/2*a11**2*a22*a23**4 - a11*a22**4*a23**
2 - a11*a22**2*a23**4) + u2*u3*(a11**2*a22**2*a23**3 + a11**2*a23**5 - 2*a11*a22
**3*a23**3 - 2*a11*a22*a23**5) + u2*v3*( - 1/4*a11**4*a23**2*b32 + 5/4*a11**3*
a22*a23**2*b32 - 2*a11**2*a22**2*a23**2*b32 + a11*a22**3*a23**2*b32) + u3**2*( -
1/2*a11**3*a22**2*a23**2 - 1/2*a11**3*a23**4 + 1/2*a11**2*a22**3*a23**2 + 1/2*
a11**2*a22*a23**4 - a11*a22**2*a23**4 - a11*a23**6) + u3*v2*(1/4*a11**4*a23**2*
b32 - 3/4*a11**3*a22*a23**2*b32 + 1/2*a11**2*a22**2*a23**2*b32 + 1/2*a11**2*a23
**4*b32 - a11*a22*a23**4*b32) + u3*v3*(1/2*a11**3*a23**3*b32 - 2*a11**2*a22*a23
**3*b32 + 2*a11*a22**2*a23**3*b32) + v1**2*( - 1/32*a11**4*a22*b32**2 - 1/2*a11
**3*a22**2*a23*c23 + 5/32*a11**3*a22**2*b32**2 - 1/2*a11**3*a23**3*c23 + 1/32*
a11**3*a23**2*b32**2 + a11**2*a22**3*a23*c23 - 9/32*a11**2*a22**3*b32**2 + a11**
2*a22*a23**3*c23 - 3/16*a11**2*a22*a23**2*b32**2 - 1/2*a11*a22**4*a23*c23 + 7/32
*a11*a22**4*b32**2 - a11*a22**2*a23**3*c23 + 11/32*a11*a22**2*a23**2*b32**2 - 1/
2*a11*a23**5*c23 - 1/16*a22**5*b32**2 - 3/16*a22**3*a23**2*b32**2) + v2*v3*( - 1
/16*a11**4*a23*b32**2 + 3/8*a11**3*a22*a23*b32**2 - 13/16*a11**2*a22**2*a23*b32
**2 + 3/4*a11*a22**3*a23*b32**2 - 1/4*a22**4*a23*b32**2) + v3**2*(1/16*a11**4*
a22*b32**2 - 5/16*a11**3*a22**2*b32**2 + 1/16*a11**3*a23**2*b32**2 + 9/16*a11**2
*a22**3*b32**2 - 1/4*a11**2*a22*a23**2*b32**2 - 7/16*a11*a22**4*b32**2 + 5/16*
a11*a22**2*a23**2*b32**2 + 1/8*a22**5*b32**2 - 1/8*a22**3*a23**2*b32**2)$