Solution 2 to problem over
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
Back to problem over
Expressions
The solution is given through the following expressions:
r10=0
r11=0
r12=0
r13=0
r14=0
r15=0
c33*r214
r20=----------
a22
r21=0
c33*r214
r22=----------
a22
r23=0
r24=0
r26=0
r27=0
r28=0
a11*r214
r29=-----------
a11 - a22
r210=0
r212=0
r213=0
r215=0
r216=0
r217=0
r218=0
r219=0
r30=0
r31=0
r32=0
r33=0
r34=0
r35=0
r36=0
r37=0
r38=0
r39=0
r310=0
r311=0
r312=0
r313=0
r314=0
r315=0
r316=0
r317=0
r318=0
r319=0
r320=0
r323=0
r325=0
r326=0
r328=0
r329=0
r330=0
r332=0
r333=0
r334=0
r335=0
r336=0
r337=0
r338=0
r339=0
r340=0
r341=0
r342=0
r343=0
r344=0
r345=0
r347=0
r348=0
r349=0
r350=0
r351=0
r352=0
r353=0
r354=0
r355=0
1 1 2 1 2
r40=(---*a11*a22*c33*r483 - ---*a11*c33 *r464 + ---*a22*c33 *r4119
2 2 2
1 2 2
+ ---*a22*c33 *r464)/(a11*a22 )
2
r41=0
2 1 2 2
a11*a22*c33*r483 - a11*c33 *r464 + ---*a22 *c33*r483 + a22*c33 *r464
2
r42=----------------------------------------------------------------------
2
a11*a22
r43=0
1 1 2 1 2
r44=(---*a11*a22*c33*r483 - ---*a11*c33 *r464 + ---*a22 *c33*r483
2 2 2
1 2 1 2 2
- ---*a22*c33 *r4119 + ---*a22*c33 *r464)/(a11*a22 )
2 2
r45=0
r46=0
r47=0
r48=0
1 2 2
---*a11*a22*c33*r483 - a11*c33 *r464 + a22*c33 *r464
2
r49=------------------------------------------------------
2
a11*a22
r410=0
1 2 1 2 2
---*a11*a22*c33*r483 - a11*c33 *r464 + ---*a22 *c33*r483 + a22*c33 *r464
2 2
r411=--------------------------------------------------------------------------
2
a11*a22
r412=0
r413=0
r415=0
r416=0
r417=0
r418=0
r419=0
r420=0
r421=0
r422=0
r423=0
r424=0
a11*r483
r425=-----------
a11 - a22
r426=0
1 1
---*a11*r483 + ---*a22*r483 - c33*r4119
2 2
r427=-----------------------------------------
a11 - a22
r428=0
r429=0
1 1 2
---*a11*a22*r483 - a11*c33*r464 + ---*a22 *r483 + a22*c33*r464
2 2
r430=----------------------------------------------------------------
2
a11*a22 - a22
r431=0
r432=0
r433=0
1 2 1 1
---*a11 *r464 - ---*a11*a22*r4119 - ---*a11*a22*r464
2 2 2
r434=------------------------------------------------------
2 2
a11 - 2*a11*a22 + a22
r435=0
r439=0
r442=0
r444=0
r445=0
r448=0
r450=0
r451=0
r453=0
r454=0
1
---*a11*r483 + c33*r4119
2
r455=--------------------------
a11
r458=0
1
---*a11*a22*r483 - a11*c33*r464 + a22*c33*r464
2
r460=------------------------------------------------
a11*a22
r461=0
r463=0
r465=0
r467=0
r468=0
1 1 1
---*a11*r464 + ---*a22*r4119 - ---*a22*r464
2 2 2
r469=---------------------------------------------
a11
r470=0
r471=0
r472=0
r473=0
r474=0
r475=0
r476=0
r477=0
r478=0
r479=0
r480=0
r481=0
r482=0
r484=0
r485=0
r486=0
r487=0
r488=0
r489=0
r490=0
r493=0
r495=0
r496=0
r498=0
r499=0
r4100=0
r4102=0
r4103=0
r4104=0
1
- ---*a22*r483 + c33*r4119
2
r4105=-----------------------------
a22
r4106=0
1
- ---*a22*r483 + c33*r4119
2
r4107=-----------------------------
a22
r4108=0
r4109=0
r4111=0
r4112=0
r4113=0
a11*r4119
r4114=-----------
a11 - a22
r4115=0
r4117=0
r4118=0
r4120=0
r4121=0
r4122=0
r4123=0
r4124=0
m3=0
m2=0
m1=0
n3=0
n2=0
n1=0
c23=0
c22=0
c13=0
c12=0
c11=0
b33=0
b32=0
b31=0
b23=0
b22=0
b21=0
b13=0
b12=0
b11=0
a33=0
a23=0
a13=0
a12=0
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r214, r4119, r483, r464, c33, a11, a22
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{c33,a11,a22,a11 - a22}
Relevance for the application:
The new Hamiltonian in form of a list of vanishing expressions:
{a12,
a13,
a23,
a33,
b11,
b12,
b13,
b21,
b22,
b23,
b31,
b32,
b33,
c11,
c12,
c13,
c22,
c23,
n1,
n2,
n3,
m1,
m2,
m3}$
The system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 2 2
HAM=u1 *a11 + u2 *a22 + v3 *c33
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following 4 first integrals:
4 1 3 2 3 2 3 3 4 1 5
FI=u2 *(---*a11 *a22 - ---*a11 *a22 + ---*a11*a22 - ---*a22 )
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 4
+ u2 *u3 *(a11 *a22 - 2*a11 *a22 + a11*a22 )
2 2 3 2 2 3 4
+ u2 *v1 *( - a11 *a22*c33 + 3*a11 *a22 *c33 - 3*a11*a22 *c33 + a22 *c33)
4 1 3 2 1 2 3
+ u3 *(---*a11 *a22 - ---*a11 *a22 )
2 2
2 2 3 2 2 3
+ u3 *v1 *( - a11 *a22*c33 + 2*a11 *a22 *c33 - a11*a22 *c33)
2 2 3 2 2 2 2 2 3 2
+ v1 *v2 *( - a11 *c33 + 3*a11 *a22*c33 - 3*a11*a22 *c33 + a22 *c33 )
2 2 3 2 2 2 2 2 3 2
+ v1 *v3 *( - a11 *c33 + 3*a11 *a22*c33 - 3*a11*a22 *c33 + a22 *c33 ) +
4
v2
1 3 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2
*( - ---*a11 *c33 + ---*a11 *a22*c33 - ---*a11*a22 *c33 + ---*a22 *c33 )
2 2 2 2
2 2 3 2 2 2 2 2 3 2
+ v2 *v3 *( - a11 *c33 + 3*a11 *a22*c33 - 3*a11*a22 *c33 + a22 *c33 ) +
4
v3
1 3 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2
*( - ---*a11 *c33 + ---*a11 *a22*c33 - ---*a11*a22 *c33 + ---*a22 *c33 )
2 2 2 2
1
= a product of the elements of: {---,
2
a11 - a22,
2 2 2 2
u2 *(a11*a22 - a22 ) + u3 *a11*a22 + v2 *(a11*c33 - a22*c33)
2
+ v3 *(a11*c33 - a22*c33),
2 2 2 2
u2 *(a11*a22 - a22 ) + u3 *a11*a22 + v1 *( - 2*a11*c33 + 2*a22*c33)
2 2
+ v2 *( - a11*c33 + a22*c33) + v3 *( - a11*c33 + a22*c33)}
{HAM,FI} = 0
2 2 1 3 2 2 1 3
FI=u1 *v2 *( - ---*a11 *a22 + a11 *a22 - ---*a11*a22 )
2 2
2 2 1 3 2 2 1 3
+ u1 *v3 *( - ---*a11 *a22 + a11 *a22 - ---*a11*a22 )
2 2
3 2 2 3
+ u1*u3*v1*v3*(a11 *a22 - 2*a11 *a22 + a11*a22 )
2 2 1 3 2 2 1 3
+ u2 *v1 *(---*a11 *a22 - a11 *a22 + ---*a11*a22 )
2 2
2 2 1 3 2 2 1 3
+ u2 *v3 *(---*a11 *a22 - a11 *a22 + ---*a11*a22 )
2 2
2 2 1 3 1 3
+ u3 *v1 *(---*a11 *a22 - ---*a11*a22 )
2 2
2 2 1 3 1 3 2 2 3 2 2
+ u3 *v2 *(---*a11 *a22 - ---*a11*a22 ) + u3 *v3 *(a11 *a22 - a11 *a22 ) +
2 2
2 2 1 3 1 2 1 2 1 3
v1 *v2 *(---*a11 *c33 - ---*a11 *a22*c33 - ---*a11*a22 *c33 + ---*a22 *c33)
2 2 2 2
2 2 1 3 2 1 2
+ v1 *v3 *(---*a11 *c33 - a11 *a22*c33 + ---*a11*a22 *c33)
2 2
4 1 3 1 2 1 2 1 3
+ v2 *(---*a11 *c33 - ---*a11 *a22*c33 - ---*a11*a22 *c33 + ---*a22 *c33)
2 2 2 2
2 2 3 3 2 1 3
+ v2 *v3 *(a11 *c33 - ---*a11 *a22*c33 + ---*a22 *c33)
2 2
4 1 3 2 1 2
+ v3 *(---*a11 *c33 - a11 *a22*c33 + ---*a11*a22 *c33)
2 2
1
= a product of the elements of: { - ---,
2
a11 - a22,
2 2 2 2 2 2 2 2
u1 *v2 *(a11 *a22 - a11*a22 ) + u1 *v3 *(a11 *a22 - a11*a22 )
2 2
+ u1*u3*v1*v3*( - 2*a11 *a22 + 2*a11*a22 )
2 2 2 2 2 2 2 2
+ u2 *v1 *( - a11 *a22 + a11*a22 ) + u2 *v3 *( - a11 *a22 + a11*a22 )
2 2 2 2 2 2 2 2
+ u3 *v1 *( - a11 *a22 - a11*a22 ) + u3 *v2 *( - a11 *a22 - a11*a22 )
2 2 2 2 2 2 2
- 2*u3 *v3 *a11 *a22 + v1 *v2 *( - a11 *c33 + a22 *c33)
2 2 2 4 2 2
+ v1 *v3 *( - a11 *c33 + a11*a22*c33) + v2 *( - a11 *c33 + a22 *c33)
2 2 2 2
+ v2 *v3 *( - 2*a11 *c33 + a11*a22*c33 + a22 *c33)
4 2
+ v3 *( - a11 *c33 + a11*a22*c33)}
{HAM,FI} = {2,
- a11 + a22,
a11 - a22,
u1*v1 + u2*v2 + u3*v3,
a22,
a11,
u1*u2*v3*a11 + u1*u3*v2*a11 - v1*v2*v3*c33}
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
FI=u1 *u2 *(a11 *a22 - 2*a11 *a22 + a11*a22 ) + u1 *u3 *(a11 *a22 - a11 *a22 )
2 2 3 2 2
+ u1 *v2 *(a11 *c33 - 2*a11 *a22*c33 + a11*a22 *c33)
2 2 3 2 2
+ u1 *v3 *(a11 *c33 - 2*a11 *a22*c33 + a11*a22 *c33)
4 1 2 2 3 1 4
+ u2 *(---*a11 *a22 - a11*a22 + ---*a22 )
2 2
2 2 2 2 3 1 4 2 2
+ u2 *v3 *(a11 *a22*c33 - 2*a11*a22 *c33 + a22 *c33) - ---*u3 *a11 *a22
2
2 2 2 2
+ u3 *v2 *( - a11 *a22*c33 + a11*a22 *c33)
4 1 2 2 2 1 2 2
+ v2 *( - ---*a11 *c33 + a11*a22*c33 - ---*a22 *c33 )
2 2
4 1 2 2 2 1 2 2
+ v3 *(---*a11 *c33 - a11*a22*c33 + ---*a22 *c33 )
2 2
2 2 2
= a product of the elements of: {u2 *(a11*a22 - a22 ) + u3 *a11*a22
2 2
+ v2 *(a11*c33 - a22*c33) + v3 *(a11*c33 - a22*c33),
2 2 2 1 1 2 1 2
u1 *(a11 - a11*a22) + u2 *(---*a11*a22 - ---*a22 ) - ---*u3 *a11*a22
2 2 2
2 1 1 2 1 1
+ v2 *( - ---*a11*c33 + ---*a22*c33) + v3 *(---*a11*c33 - ---*a22*c33)}
2 2 2 2
{HAM,FI} = 0
2 2 2 3 2 2 2
FI=u2 *(a11 *a22 - 2*a11*a22 + a22 ) + u3 *(a11 *a22 - a11*a22 )
2 2 2
+ v2 *(a11 *c33 - 2*a11*a22*c33 + a22 *c33)
2 2 2
+ v3 *(a11 *c33 - 2*a11*a22*c33 + a22 *c33)
= a product of the elements of: {a11 - a22,
2 2 2 2
u2 *(a11*a22 - a22 ) + u3 *a11*a22 + v2 *(a11*c33 - a22*c33)
2
+ v3 *(a11*c33 - a22*c33)}
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=u1**2*a11 + u2**2*a22 + v3**2*c33$
FI=u2**4*(1/2*a11**3*a22**2 - 3/2*a11**2*a22**3 + 3/2*a11*a22**4 - 1/2*a22**5) +
u2**2*u3**2*(a11**3*a22**2 - 2*a11**2*a22**3 + a11*a22**4) + u2**2*v1**2*( -
a11**3*a22*c33 + 3*a11**2*a22**2*c33 - 3*a11*a22**3*c33 + a22**4*c33) + u3**4*(1
/2*a11**3*a22**2 - 1/2*a11**2*a22**3) + u3**2*v1**2*( - a11**3*a22*c33 + 2*a11**
2*a22**2*c33 - a11*a22**3*c33) + v1**2*v2**2*( - a11**3*c33**2 + 3*a11**2*a22*
c33**2 - 3*a11*a22**2*c33**2 + a22**3*c33**2) + v1**2*v3**2*( - a11**3*c33**2 +
3*a11**2*a22*c33**2 - 3*a11*a22**2*c33**2 + a22**3*c33**2) + v2**4*( - 1/2*a11**
3*c33**2 + 3/2*a11**2*a22*c33**2 - 3/2*a11*a22**2*c33**2 + 1/2*a22**3*c33**2) +
v2**2*v3**2*( - a11**3*c33**2 + 3*a11**2*a22*c33**2 - 3*a11*a22**2*c33**2 + a22
**3*c33**2) + v3**4*( - 1/2*a11**3*c33**2 + 3/2*a11**2*a22*c33**2 - 3/2*a11*a22
**2*c33**2 + 1/2*a22**3*c33**2)$
FI=u1**2*v2**2*( - 1/2*a11**3*a22 + a11**2*a22**2 - 1/2*a11*a22**3) + u1**2*v3**
2*( - 1/2*a11**3*a22 + a11**2*a22**2 - 1/2*a11*a22**3) + u1*u3*v1*v3*(a11**3*a22
- 2*a11**2*a22**2 + a11*a22**3) + u2**2*v1**2*(1/2*a11**3*a22 - a11**2*a22**2 +
1/2*a11*a22**3) + u2**2*v3**2*(1/2*a11**3*a22 - a11**2*a22**2 + 1/2*a11*a22**3)
+ u3**2*v1**2*(1/2*a11**3*a22 - 1/2*a11*a22**3) + u3**2*v2**2*(1/2*a11**3*a22 -
1/2*a11*a22**3) + u3**2*v3**2*(a11**3*a22 - a11**2*a22**2) + v1**2*v2**2*(1/2*
a11**3*c33 - 1/2*a11**2*a22*c33 - 1/2*a11*a22**2*c33 + 1/2*a22**3*c33) + v1**2*
v3**2*(1/2*a11**3*c33 - a11**2*a22*c33 + 1/2*a11*a22**2*c33) + v2**4*(1/2*a11**3
*c33 - 1/2*a11**2*a22*c33 - 1/2*a11*a22**2*c33 + 1/2*a22**3*c33) + v2**2*v3**2*(
a11**3*c33 - 3/2*a11**2*a22*c33 + 1/2*a22**3*c33) + v3**4*(1/2*a11**3*c33 - a11
**2*a22*c33 + 1/2*a11*a22**2*c33)$
FI=u1**2*u2**2*(a11**3*a22 - 2*a11**2*a22**2 + a11*a22**3) + u1**2*u3**2*(a11**3
*a22 - a11**2*a22**2) + u1**2*v2**2*(a11**3*c33 - 2*a11**2*a22*c33 + a11*a22**2*
c33) + u1**2*v3**2*(a11**3*c33 - 2*a11**2*a22*c33 + a11*a22**2*c33) + u2**4*(1/2
*a11**2*a22**2 - a11*a22**3 + 1/2*a22**4) + u2**2*v3**2*(a11**2*a22*c33 - 2*a11*
a22**2*c33 + a22**3*c33) - 1/2*u3**4*a11**2*a22**2 + u3**2*v2**2*( - a11**2*a22*
c33 + a11*a22**2*c33) + v2**4*( - 1/2*a11**2*c33**2 + a11*a22*c33**2 - 1/2*a22**
2*c33**2) + v3**4*(1/2*a11**2*c33**2 - a11*a22*c33**2 + 1/2*a22**2*c33**2)$
FI=u2**2*(a11**2*a22 - 2*a11*a22**2 + a22**3) + u3**2*(a11**2*a22 - a11*a22**2)
+ v2**2*(a11**2*c33 - 2*a11*a22*c33 + a22**2*c33) + v3**2*(a11**2*c33 - 2*a11*
a22*c33 + a22**2*c33)$