Solution 40 to problem h
Remaining equations |
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
Back to problem h
Equations
The following unsolved equations remain:
2 2
0=a22 + b12 *kap
Expressions
The solution is given through the following expressions:
r10=0
1
- ---*a22*m3*n2*r328
2
r11=-----------------------
3
b12 *kap
r12=0
1 2 1 2
- ---*a22*kap*m3 *r328 + ---*a22*n3 *r328
2 2
r13=--------------------------------------------
3
b12 *kap
3 5 2
2*a22 *n2*n3*r328 + ---*a22*b12 *kap*n2*n3*r328
2
r14=-------------------------------------------------
5 2
b12 *kap
r15=0
r20=0
r21=0
r22=0
r23=0
r24=0
r27=0
3 5 2
- 2*a22 *n2*r328 - ---*a22*b12 *kap*n2*r328
2
r28=----------------------------------------------
4 2
b12 *kap
2
- a22 *n3*r328
r29=-----------------
3
b12 *kap
r210=0
m3*r328
r211=---------
b12
r212=0
2 2
- a22 *n2*r328 - b12 *kap*n2*r328
r213=------------------------------------
3
b12 *kap
r214=0
1
---*a22*n2*r328
2
r215=-----------------
2
b12 *kap
m3*r328
r217=---------
b12
r218=0
r219=0
r220=0
r30=0
r31=0
r32=0
r33=0
r34=0
r35=0
r36=0
r37=0
r38=0
r39=0
1
---*a22*r328
2
r310=--------------
b12*kap
- m3*n2*r5150
r311=----------------
2
b12
1
---*a22*r328
2
r312=--------------
b12*kap
r313=0
r314=0
1
---*a22*r328
2
r315=--------------
b12*kap
2 2 2 2 2 2
2*a22 *m3 *r5150 + b12 *kap*m3 *r5150 + b12 *n3 *r5150
r316=--------------------------------------------------------
4
b12
r317=0
r318=0
2 3 2 2 1 3
r319=(---*a22 *b12*r328 + ---*a22 *kap*m3*n3*r5150 + ---*a22*b12 *kap*r328
3 3 6
2 2 2 4
+ ---*b12 *kap *m3*n3*r5150)/(b12 *kap)
3
r320=0
r321=0
- m3*n2*r5150
r322=----------------
2
b12
r323=0
r324=0
r325=0
n2*n3*r5150
r326=-------------
2
b12
2 2
- kap*m3 *r5150 + n3 *r5150
r327=------------------------------
2
b12
2 2
2*a22 *m3*n2*r5150 + 2*b12 *kap*m3*n2*r5150
r329=---------------------------------------------
4
b12
r330=0
n2*n3*r5150
r331=-------------
2
b12
r332=0
1
- ---*a22*r328
2
r333=-----------------
b12
r334=0
r335=0
r336=0
r337=0
r338=0
- m3*n2*r5150
r339=----------------
2
b12
r340=0
r341=0
r342= - r328
2 2
- kap*m3 *r5150 + n3 *r5150
r343=------------------------------
2
b12
r344=0
r345=0
r346=0
n2*n3*r5150
r347=-------------
2
b12
r348=0
r349=0
28 2 2 28 2 2
- ----*a22 *n2 *r5150 - ----*b12 *kap*n2 *r5150
3 3
r350=--------------------------------------------------
4
b12 *kap
r351=0
r352=0
1
- ---*a22*r328
2
r353=-----------------
b12
r354=0
r355=0
r40=0
r41=0
r42=0
r43=0
r44=0
r45=0
r46=0
r47=0
r48=0
r49=0
r410=0
r411=0
r412=0
r413=0
r415=0
r416=0
r417=0
r418=0
r419=0
r420=0
r421=0
r423=0
r424=0
r426=0
r427=0
- n2*r5150
r428=-------------
b12
r429=0
r430=0
- 2*a22*n3*r5150
r431=-------------------
2
b12
r432=0
r433=0
3 2
- a22 *m3*r5150 - a22*b12 *kap*m3*r5150
r434=------------------------------------------
4
b12
r435=0
r436=0
r437=0
r438=0
r439=0
r440=0
r441=0
r442=0
r443=0
r444=0
r445=0
- 2*a22*m3*r5150
r446=-------------------
2
b12
r447=0
r448=0
- n2*r5150
r449=-------------
b12
r450=0
r451=0
- 2*a22*n3*r5150
r452=-------------------
2
b12
2 2
- 2*a22 *m3*r5150 - 2*b12 *kap*m3*r5150
r453=------------------------------------------
3
b12
r454=0
r455=0
r456=0
- 2*a22*m3*r5150
r457=-------------------
2
b12
r458=0
r459=0
r460=0
r461=0
r462=0
r463=0
3 2
2*a22 *m3*r5150 + 2*a22*b12 *kap*m3*r5150
r464=-------------------------------------------
4
b12
r465=0
r466=0
r467=0
r468=0
r469=0
r470=0
r471=0
r472=0
r473=0
r474=0
r475=0
r476=0
r477=0
r479=0
n2*r5150
r480=----------
b12
r482=0
- 2*a22*m3*r5150
r483=-------------------
2
b12
r484=0
- n2*r5150
r485=-------------
b12
r486=0
2 2
2*a22 *m3*r5150 + 2*b12 *kap*m3*r5150
r487=---------------------------------------
3
b12
- 2*a22*n3*r5150
r488=-------------------
2
b12
r489=0
r490=0
n2*r5150
r491=----------
b12
r492=0
r493=0
- 4*a22*m3*r5150
r494=-------------------
2
b12
r495=0
r496=0
r497=0
r498=0
r499=0
r4100=0
r4101=0
r4102=0
r4103=0
r4104=0
r4105=0
r4106=0
n2*r5150
r4108=----------
b12
r4109=0
- 2*a22*m3*r5150
r4110=-------------------
2
b12
r4111=0
r4112=0
r4113=0
3 2
2*a22 *m3*r5150 + 2*a22*b12 *kap*m3*r5150
r4114=-------------------------------------------
4
b12
r4115=0
r4116=0
r4117=0
r4118=0
r4119=0
r4120=0
r4121=0
r4122=0
28 2 28 2
----*a22 *n2*r5150 + ----*b12 *kap*n2*r5150
3 3
r4123=---------------------------------------------
3
b12
r4124=0
r4125=0
r50=0
r51=0
r52=0
r53=0
r54=0
r55=0
r56=0
r57=0
r58=0
r59=0
r510=0
r511=0
r512=0
r513=0
r514=0
r515=0
r516=0
r517=0
r518=0
r519=0
r520=0
r521=0
r522=0
r523=0
r524=0
r525=0
r526=0
r527=0
r528=0
r529=0
r530=0
r531=0
r532=0
r533=0
r534=0
r535=0
r536=r5150
r537=0
r538=r5150
r539=0
r540=0
r541=0
r542=0
r543=r5150
r544=0
r545=0
r546=0
r547=0
r548=0
r549=0
r550=0
r551=0
4 2 1 2
---*a22 *r5150 + ---*b12 *kap*r5150
3 3
r552=-------------------------------------
2
b12
r553=0
r554=0
r555=0
r556=0
r557=0
r558=0
r559=0
r560=0
r561=0
r562=0
r563=0
r564=0
r565=0
r566=0
r567=0
r568=0
r569=0
r570=0
r571=0
r572=r5150
r573=0
r574=r5150
r575=0
r576=0
r577=0
r578=0
r579=r5150
r580=0
r581=0
r582=0
r583=0
- 2*a22*r5150
r584=----------------
b12
r585=0
r586=0
r587=0
4 2 1 2
---*a22 *r5150 + ---*b12 *kap*r5150
3 3
r588=-------------------------------------
2
b12
r589=0
r590=0
r591=0
r592=0
r593=0
r594=0
r595=0
r596=0
r597=0
r598=0
r599=0
r5100=0
r5101=0
r5102=0
r5103=0
r5104=0
- 2*a22*r5150
r5105=----------------
b12
r5106=0
2 2
2*a22 *r5150 + b12 *kap*r5150
r5107=-------------------------------
2
b12
r5108=0
r5109=0
r5110=0
r5111=0
r5112=0
r5113=0
r5114=0
r5115=0
r5116=0
r5117=0
2 2
2*a22 *r5150 + b12 *kap*r5150
r5118=-------------------------------
2
b12
r5119=0
r5120=0
r5121=0
r5122=0
r5123=0
r5124=0
r5125=0
r5126=0
r5127=0
r5128=0
r5129=0
r5130=0
r5131=0
r5132=0
r5133=0
r5134=0
r5135=0
r5136=0
r5137=0
r5138=0
r5139=0
r5140=0
r5141=0
r5142=0
r5143=0
r5144=0
r5145=r5150
r5146=0
r5147=r5150
r5148=0
r5149=0
r5151=0
2*a22*r5150
r5152=-------------
b12
r5153=0
r5154=0
r5155=0
r5156=0
r5157=0
r5158=0
4 2 1 2
---*a22 *r5150 + ---*b12 *kap*r5150
3 3
r5159=-------------------------------------
2
b12
r5160=0
r5161=0
r5162=0
r5163=0
r5164=0
r5165=0
r5166=0
r5167=0
r5168=0
r5169=0
r5170=0
r5171=0
r5172=0
2*a22*r5150
r5173=-------------
b12
r5174=0
r5175=0
- 2*a22*r5150
r5176=----------------
b12
r5177=0
r5178=0
r5179=0
r5180=0
r5181=0
r5182=0
r5183=0
r5184=0
r5185=0
r5186=0
r5187=0
r5188=0
2 2
2*a22 *r5150 + b12 *kap*r5150
r5189=-------------------------------
2
b12
r5190=0
r5191=0
r5192=0
r5193=0
r5194=0
r5195=0
r5196=0
r5197=0
r5198=0
r5199=0
r5200=0
r5201=0
r5202=0
r5203=0
r5204=0
r5205=0
r5206=0
r5207=0
r5208=0
r5209=0
2*a22*r5150
r5210=-------------
b12
r5211=0
2 2
2*a22 *r5150 + b12 *kap*r5150
r5212=-------------------------------
2
b12
r5213=0
r5214=0
r5215=0
r5216=0
r5217=0
r5218=0
r5219=0
r5220=0
r5221=0
r5222=0
2 2
2*a22 *r5150 + b12 *kap*r5150
r5223=-------------------------------
2
b12
r5224=0
r5225=0
r5226=0
r5227=0
r5228=0
r5229=0
r5230=0
r5231=0
r5232=0
r5233=0
r5234=0
r5235=0
r5236=0
r5237=0
r5238=0
2 2
2*a22 *r5150 + b12 *kap*r5150
r5239=-------------------------------
2
b12
r5240=0
r5241=0
r5242=0
r5243=0
r5244=0
r5245=0
r5246=0
r5247=0
r5248=0
r5249=0
r5250=0
r5251=0
m2=0
m1=0
n1=0
a33= - a22
a23=0
a13=0
a11=a22
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r328, r5150, m3, n3, a22, n2, b12
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{r5150,a22,n2,b12}
Relevance for the application:
Modulo the following equation:
2 2
0=a22 + b12 *kap
the system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 2 2
HAM=u1 *a22 + u1*v2*b12 + u2 *a22 - u2*v1*b12 + u2*n2 - u3 *a22 + u3*n3 + v3*m3
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following 2 first integrals:
3 2 2 4 2
FI=u1 *u3*v1*(6*a22 *b12 *kap + 3*b12 *kap )
3 2 3 2
+ u1 *u3*(28*a22 *b12*kap*n2 + 28*b12 *kap *n2)
2 2 2 4 2
+ u1 *u2*u3*v2*(6*a22 *b12 *kap + 3*b12 *kap )
2 2 2 2 4 2
+ u1 *u3 *v3*(6*a22 *b12 *kap + 3*b12 *kap )
2 2 3 2 2 2 3
+ u1 *u3 *(6*a22 *kap*m3 + 6*a22*b12 *kap *m3) + 6*u1 *u3*v1*v2*a22*b12 *kap
2 2 2 2 3
- 6*u1 *v1 *a22*b12 *kap*m3 + 3*u1 *v1*v3*b12 *kap*n2
2 2 2 2 2
+ u1 *v3*( - 28*a22 *n2 - 28*b12 *kap*n2 )
2 2 2 4 2 2 3
+ u1*u2 *u3*v1*(6*a22 *b12 *kap + 3*b12 *kap ) - 6*u1*u2*u3*v1 *a22*b12 *kap
2 3 2
+ 6*u1*u2*u3*v2 *a22*b12 *kap - 12*u1*u2*v1*v2*a22*b12 *kap*m3
2 3
+ 3*u1*u2*v1*b12 *kap*n2*n3 + 3*u1*u2*v2*v3*b12 *kap*n2
3 2 2 4 2 2 2
+ u1*u3 *v1*(4*a22 *b12 *kap + b12 *kap ) - 6*u1*u3 *v1*a22*b12 *kap*n3
2 3
+ 6*u1*u3 *v2*v3*a22*b12 *kap
2 2 3 2 3 4
+ u1*u3 *v2*(6*a22 *b12*kap*m3 + 6*b12 *kap *m3) + 3*u1*u3*v1 *b12 *kap
2 3 2 4
- 3*u1*u3*v1 *b12 *kap*n2 + 3*u1*u3*v1*v2 *b12 *kap
2 4 2
+ 3*u1*u3*v1*v3 *b12 *kap - 6*u1*u3*v1*v3*a22*b12 *kap*m3
2 2 2 2 2 2 3
+ u1*u3*v1*( - 3*b12 *kap *m3 + 3*b12 *kap*n3 ) + 3*u1*u3*v3 *b12 *kap*n2
2 3 2 2 4 2
- 3*u1*v1*v2*b12 *kap*m3*n2 + u2 *u3*v2*(6*a22 *b12 *kap + 3*b12 *kap )
2 2 2 2 4 2
+ u2 *u3 *v3*(6*a22 *b12 *kap + 3*b12 *kap )
2 2 3 2 2 2 3
+ u2 *u3 *(6*a22 *kap*m3 + 6*a22*b12 *kap *m3) - 6*u2 *u3*v1*v2*a22*b12 *kap
2 2 2 2 2
- 6*u2 *v2 *a22*b12 *kap*m3 + 3*u2 *v2*b12 *kap*n2*n3
3 2 2 4 2 2 3
+ u2*u3 *v2*(4*a22 *b12 *kap + b12 *kap ) - 6*u2*u3 *v1*v3*a22*b12 *kap
2 2 3 2
+ u2*u3 *v1*( - 6*a22 *b12*kap*m3 - 6*b12 *kap *m3)
2 2
- 6*u2*u3 *v2*a22*b12 *kap*n3
2 2 2 2 2 4
+ u2*u3 *(6*a22 *kap*m3*n2 + 6*b12 *kap *m3*n2) + 3*u2*u3*v1 *v2*b12 *kap
3 3 4 2 4
- 3*u2*u3*v1*v2*b12 *kap*n2 + 3*u2*u3*v2 *b12 *kap + 3*u2*u3*v2*v3 *b12 *kap
2
- 6*u2*u3*v2*v3*a22*b12 *kap*m3
2 2 2 2 2 2
+ u2*u3*v2*( - 3*b12 *kap *m3 + 3*b12 *kap*n3 ) + 3*u2*u3*v3*b12 *kap*n2*n3
2 2 4 2 2 4 2
- 3*u2*v2 *b12 *kap*m3*n2 + u3 *v3*(4*a22 *b12 *kap + b12 *kap )
4 3 2 2 3 2
+ u3 *( - 3*a22 *kap*m3 - 3*a22*b12 *kap *m3) - 6*u3 *v3*a22*b12 *kap*n3
3 2 2 2 2 2 4
+ u3 *(2*a22 *kap*m3*n3 + 2*b12 *kap *m3*n3) + 3*u3 *v1 *v3*b12 *kap
2 3 2 2 4 2 3 4
- 3*u3 *v1*v3*b12 *kap*n2 + 3*u3 *v2 *v3*b12 *kap + 3*u3 *v3 *b12 *kap
2 2 2 2 2 2 2 2
+ u3 *v3*(6*a22 *kap*m3 + 3*b12 *kap *m3 + 3*b12 *kap*n3 )
2
- 3*u3*v2*v3*b12 *kap*m3*n2
which is not further factorizable.
{HAM,FI} = 0
2 4 2 5 2 4 2
FI= - 3*u1 *u3*a22*b12 *kap - 6*u1*u3*v2*b12 *kap + 6*u1*v1*b12 *kap *m3
3 2 4 2 5 2
+ 3*u1*v3*a22*b12 *kap*n2 - 3*u2 *u3*a22*b12 *kap + 6*u2*u3*v1*b12 *kap
2 2 4 2 4 2
+ u2*u3*( - 6*a22 *b12 *kap*n2 - 6*b12 *kap *n2) + 6*u2*v2*b12 *kap *m3
3 2
+ u2*(12*a22 *n2*n3 + 15*a22*b12 *kap*n2*n3)
3 3 2 4 2 2 2 2
+ u3 *(4*a22 *b12 *kap + a22*b12 *kap ) - 6*u3 *a22 *b12 *kap*n3
2 4 3 3
+ 3*u3*v1 *a22*b12 *kap + u3*v1*( - 12*a22 *b12*n2 - 15*a22*b12 *kap*n2)
2 4 2 4
+ 3*u3*v2 *a22*b12 *kap + 3*u3*v3 *a22*b12 *kap
2 2 2 2 2 2
+ u3*( - 3*a22*b12 *kap *m3 + 3*a22*b12 *kap*n3 ) - 3*v2*a22*b12 *kap*m3*n2
which is not further factorizable.
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=u1**2*a22 + u1*v2*b12 + u2**2*a22 - u2*v1*b12 + u2*n2 - u3**2*a22 + u3*n3 +
v3*m3$
FI=u1**3*u3*v1*(6*a22**2*b12**2*kap + 3*b12**4*kap**2) + u1**3*u3*(28*a22**2*b12
*kap*n2 + 28*b12**3*kap**2*n2) + u1**2*u2*u3*v2*(6*a22**2*b12**2*kap + 3*b12**4*
kap**2) + u1**2*u3**2*v3*(6*a22**2*b12**2*kap + 3*b12**4*kap**2) + u1**2*u3**2*(
6*a22**3*kap*m3 + 6*a22*b12**2*kap**2*m3) + 6*u1**2*u3*v1*v2*a22*b12**3*kap - 6*
u1**2*v1**2*a22*b12**2*kap*m3 + 3*u1**2*v1*v3*b12**3*kap*n2 + u1**2*v3*( - 28*
a22**2*n2**2 - 28*b12**2*kap*n2**2) + u1*u2**2*u3*v1*(6*a22**2*b12**2*kap + 3*
b12**4*kap**2) - 6*u1*u2*u3*v1**2*a22*b12**3*kap + 6*u1*u2*u3*v2**2*a22*b12**3*
kap - 12*u1*u2*v1*v2*a22*b12**2*kap*m3 + 3*u1*u2*v1*b12**2*kap*n2*n3 + 3*u1*u2*
v2*v3*b12**3*kap*n2 + u1*u3**3*v1*(4*a22**2*b12**2*kap + b12**4*kap**2) - 6*u1*
u3**2*v1*a22*b12**2*kap*n3 + 6*u1*u3**2*v2*v3*a22*b12**3*kap + u1*u3**2*v2*(6*
a22**2*b12*kap*m3 + 6*b12**3*kap**2*m3) + 3*u1*u3*v1**3*b12**4*kap - 3*u1*u3*v1
**2*b12**3*kap*n2 + 3*u1*u3*v1*v2**2*b12**4*kap + 3*u1*u3*v1*v3**2*b12**4*kap -
6*u1*u3*v1*v3*a22*b12**2*kap*m3 + u1*u3*v1*( - 3*b12**2*kap**2*m3**2 + 3*b12**2*
kap*n3**2) + 3*u1*u3*v3**2*b12**3*kap*n2 - 3*u1*v1*v2*b12**2*kap*m3*n2 + u2**3*
u3*v2*(6*a22**2*b12**2*kap + 3*b12**4*kap**2) + u2**2*u3**2*v3*(6*a22**2*b12**2*
kap + 3*b12**4*kap**2) + u2**2*u3**2*(6*a22**3*kap*m3 + 6*a22*b12**2*kap**2*m3)
- 6*u2**2*u3*v1*v2*a22*b12**3*kap - 6*u2**2*v2**2*a22*b12**2*kap*m3 + 3*u2**2*v2
*b12**2*kap*n2*n3 + u2*u3**3*v2*(4*a22**2*b12**2*kap + b12**4*kap**2) - 6*u2*u3
**2*v1*v3*a22*b12**3*kap + u2*u3**2*v1*( - 6*a22**2*b12*kap*m3 - 6*b12**3*kap**2
*m3) - 6*u2*u3**2*v2*a22*b12**2*kap*n3 + u2*u3**2*(6*a22**2*kap*m3*n2 + 6*b12**2
*kap**2*m3*n2) + 3*u2*u3*v1**2*v2*b12**4*kap - 3*u2*u3*v1*v2*b12**3*kap*n2 + 3*
u2*u3*v2**3*b12**4*kap + 3*u2*u3*v2*v3**2*b12**4*kap - 6*u2*u3*v2*v3*a22*b12**2*
kap*m3 + u2*u3*v2*( - 3*b12**2*kap**2*m3**2 + 3*b12**2*kap*n3**2) + 3*u2*u3*v3*
b12**2*kap*n2*n3 - 3*u2*v2**2*b12**2*kap*m3*n2 + u3**4*v3*(4*a22**2*b12**2*kap +
b12**4*kap**2) + u3**4*( - 3*a22**3*kap*m3 - 3*a22*b12**2*kap**2*m3) - 6*u3**3*
v3*a22*b12**2*kap*n3 + u3**3*(2*a22**2*kap*m3*n3 + 2*b12**2*kap**2*m3*n3) + 3*u3
**2*v1**2*v3*b12**4*kap - 3*u3**2*v1*v3*b12**3*kap*n2 + 3*u3**2*v2**2*v3*b12**4*
kap + 3*u3**2*v3**3*b12**4*kap + u3**2*v3*(6*a22**2*kap*m3**2 + 3*b12**2*kap**2*
m3**2 + 3*b12**2*kap*n3**2) - 3*u3*v2*v3*b12**2*kap*m3*n2$
FI= - 3*u1**2*u3*a22*b12**4*kap**2 - 6*u1*u3*v2*b12**5*kap**2 + 6*u1*v1*b12**4*
kap**2*m3 + 3*u1*v3*a22*b12**3*kap*n2 - 3*u2**2*u3*a22*b12**4*kap**2 + 6*u2*u3*
v1*b12**5*kap**2 + u2*u3*( - 6*a22**2*b12**2*kap*n2 - 6*b12**4*kap**2*n2) + 6*u2
*v2*b12**4*kap**2*m3 + u2*(12*a22**3*n2*n3 + 15*a22*b12**2*kap*n2*n3) + u3**3*(4
*a22**3*b12**2*kap + a22*b12**4*kap**2) - 6*u3**2*a22**2*b12**2*kap*n3 + 3*u3*v1
**2*a22*b12**4*kap + u3*v1*( - 12*a22**3*b12*n2 - 15*a22*b12**3*kap*n2) + 3*u3*
v2**2*a22*b12**4*kap + 3*u3*v3**2*a22*b12**4*kap + u3*( - 3*a22*b12**2*kap**2*m3
**2 + 3*a22*b12**2*kap*n3**2) - 3*v2*a22*b12**2*kap*m3*n2$