Solution 2 to problem h
Remaining equations |
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
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Equations
The following unsolved equations remain:
2 2 2
0=a11 + a23 + b12 *kap
Expressions
The solution is given through the following expressions:
r50=0
r51=0
r52=0
r53=0
r54=0
r55=0
r56=0
r57=0
r58=0
r59=0
r510=0
r511=0
r512=0
r513=0
r514=0
r515=0
r516=0
r517=0
r518=0
r519=0
r520=0
1
---*b12*r5237
2
r521=---------------
a23*kap
r522=0
b12*r5237
r523=-----------
a23*kap
r524=0
1
---*b12*r5237
2
r525=---------------
a23*kap
r526=0
r527=0
r528=0
r529=0
b12*r5237
r530=-----------
a23*kap
r531=0
b12*r5237
r532=-----------
a23*kap
r533=0
r534=0
1
---*b12*r5237
2
r535=---------------
a23*kap
1
---*b12*r5209
2
r536=---------------
a23
r537=0
1
---*b12*r5209
2
r538=---------------
a23
r539=0
- r5237
r540=----------
kap
r541=0
- r5237
r542=----------
kap
1
---*b12*r5209
2
r543=---------------
a23
r544=0
- r5237
r545=----------
kap
r546=0
r547=0
r548=0
r549= - r5209
r550=0
r551=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r552=----------------------
a23
r553=0
r554= - r5237
1
- ---*b12*kap*r5237
2
r555=----------------------
a23
r556=0
r557=0
r558=0
r559=0
r560=0
r561=0
r562=0
r563=0
r564=0
r565=0
r566=0
r567=0
r568=0
r569=0
r570=0
r571=0
1
---*b12*r5209
2
r572=---------------
a23
r573=0
1
---*b12*r5209
2
r574=---------------
a23
- a11*r5237
r575=--------------
a23*kap
r576=0
- a11*r5237
r577=--------------
a23*kap
r578=0
1
---*b12*r5209
2
r579=---------------
a23
- a11*r5237
r580=--------------
a23*kap
r581=0
r582=0
r583=0
- a11*r5209
r584=--------------
a23
r585= - r5209
r586=0
r587=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r588=----------------------
a23
- a11*r5237
r589=--------------
a23
r590=0
r591=0
r592=0
r593=0
r594=0
r595=0
r596=0
r597=0
r598=0
r599=0
r5100=0
r5101=0
r5102=0
r5103=0
r5104=0
- a11*r5209
r5105=--------------
a23
r5106=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5107=----------------------
a23
r5108=0
r5109= - r5237
- b12*kap*r5237
r5110=------------------
a23
r5111=0
r5112=0
r5113=0
r5114=0
r5115=0
r5116=0
r5117=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5118=----------------------
a23
- a11*r5237
r5119=--------------
a23
r5120=0
r5121=0
r5122=0
r5123=0
1
- ---*b12*kap*r5237
2
r5124=----------------------
a23
r5125=0
r5126=0
r5127=0
r5128=0
r5129=0
r5130=0
r5131=0
r5132=0
r5133=0
r5134=0
r5135=0
r5136=0
r5137=0
r5138=0
r5139=0
r5140=0
r5237
r5141=-------
kap
a11*r5237
r5142=-----------
a23*kap
r5237
r5143=-------
kap
a11*r5237
r5144=-----------
a23*kap
1
---*b12*r5209
2
r5145=---------------
a23
r5146=0
1
---*b12*r5209
2
r5147=---------------
a23
r5237
r5148=-------
kap
a11*r5237
r5149=-----------
a23*kap
1
---*b12*r5209
2
r5150=---------------
a23
r5151=r5209
a11*r5209
r5152=-----------
a23
r5153=0
r5154=0
r5155=0
r5156= - r5209
r5157=r5237
a11*r5237
r5158=-----------
a23
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5159=----------------------
a23
r5160=0
r5161=0
r5162=0
r5163=0
r5164=0
r5165=0
r5166=0
r5167=0
r5168=0
r5169=0
r5170=0
r5171=0
r5172=r5209
a11*r5209
r5173=-----------
a23
r5174=0
r5175=0
- a11*r5209
r5176=--------------
a23
r5177=0
r5178=0
r5179=0
r5180=0
r5181=0
r5182=0
r5183=0
r5184=0
r5185=0
r5186=0
r5187=r5237
a11*r5237
r5188=-----------
a23
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5189=----------------------
a23
r5190=0
r5191=0
r5192=0
r5193=0
r5194=0
r5195=0
r5196=0
r5197=0
r5198=0
r5199=0
r5200=0
r5201=0
r5202=0
r5203=0
r5204=0
r5205=0
r5206=0
r5207=0
r5208=0
a11*r5209
r5210=-----------
a23
r5211=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5212=----------------------
a23
r5213=0
r5214= - r5237
- b12*kap*r5237
r5215=------------------
a23
r5216=0
r5217=0
r5218=0
r5219=0
r5220=0
r5221=0
r5222=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5223=----------------------
a23
- a11*r5237
r5224=--------------
a23
r5225=0
r5226=0
r5227=0
r5228=0
- b12*kap*r5237
r5229=------------------
a23
r5230=0
r5231=0
r5232=0
r5233=0
r5234=0
r5235=0
r5236=0
a11*r5237
r5238=-----------
a23
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5239=----------------------
a23
r5240=0
r5241=0
r5242=0
r5243=0
r5244=0
r5245=0
r5246=0
r5247=0
r5248=0
1
- ---*b12*kap*r5237
2
r5249=----------------------
a23
r5250=0
r5251=0
a33= - a11
a22=a11
a13=0
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r5237, r5209, a11, a23, b12
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{a23,b12,r5209}
Relevance for the application:
Modulo the following equation:
2 2 2
0=a11 + a23 + b12 *kap
the system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 2 2
HAM=u1 *a11 + u1*v2*b12 + u2 *a11 + 2*u2*u3*a23 - u2*v1*b12 - u3 *a11
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following 2 first integrals:
1 3 1 2 1 2 2
FI= - ---*u1 *u3*v1*b12*kap - ---*u1 *u2*u3*v2*b12*kap - ---*u1 *u3 *v3*b12*kap
2 2 2
2 2 1 2
+ u1 *u3*v1*v2*a11 + u1 *u3*v1*v3*a23 - ---*u1*u2 *u3*v1*b12*kap
2
2 2
- u1*u2*u3*v1 *a11 + u1*u2*u3*v2 *a11 + u1*u2*u3*v2*v3*a23
1 3 2 2 2 2 2
- ---*u1*u3 *v1*b12*kap - u1*u3 *v1 *a23 + u1*u3 *v2*v3*a11 + u1*u3 *v3 *a23
2
1 3 1 2 1 2
+ ---*u1*u3*v1 *b12 + ---*u1*u3*v1*v2 *b12 + ---*u1*u3*v1*v3 *b12
2 2 2
1 3 1 2 2 2
- ---*u2 *u3*v2*b12*kap - ---*u2 *u3 *v3*b12*kap - u2 *u3*v1*v2*a11
2 2
1 3 2 2
- ---*u2*u3 *v2*b12*kap - u2*u3 *v1*v2*a23 - u2*u3 *v1*v3*a11
2
1 2 1 3 1 2
+ ---*u2*u3*v1 *v2*b12 + ---*u2*u3*v2 *b12 + ---*u2*u3*v2*v3 *b12
2 2 2
1 4 3 1 2 2
- ---*u3 *v3*b12*kap - u3 *v1*v3*a23 + ---*u3 *v1 *v3*b12
2 2
1 2 2 1 2 3
+ ---*u3 *v2 *v3*b12 + ---*u3 *v3 *b12
2 2
1 2 2 2 2 2 2
= - ---*u3*(((u2 + u3 + u1 )*kap - (v2 + v3 + v1 ))*b12
2
- 2*((u1*v2 - u2*v1)*a11 + (u1*v3 - u3*v1)*a23))
*(u2*v2 + u3*v3 + u1*v1)
{HAM,FI} = 0
1 4 2 3 3
FI= - ---*u1 *u3*b12*kap + u1 *u3*v2*a11*kap + u1 *u3*v3*a23*kap
2
2 2 2 2 2 3 2
- u1 *u2 *u3*b12*kap - u1 *u2*u3*v1*a11*kap - u1 *u3 *b12*kap
2 2 2 2
- u1 *u3 *v1*a23*kap + u1*u2 *u3*v2*a11*kap + u1*u2 *u3*v3*a23*kap
3 3 2
+ u1*u3 *v2*a11*kap + u1*u3 *v3*a23*kap + u1*u3*v1 *v2*a11
2 3 2 2
+ u1*u3*v1 *v3*a23 + u1*u3*v2 *a11 + u1*u3*v2 *v3*a23 + u1*u3*v2*v3 *a11
3 1 4 2 3 2 3 2
+ u1*u3*v3 *a23 - ---*u2 *u3*b12*kap - u2 *u3*v1*a11*kap - u2 *u3 *b12*kap
2
2 2 3 3 2
- u2 *u3 *v1*a23*kap - u2*u3 *v1*a11*kap - u2*u3*v1 *a11 - u2*u3*v1*v2 *a11
2 1 5 2 4 2 3
- u2*u3*v1*v3 *a11 - ---*u3 *b12*kap - u3 *v1*a23*kap - u3 *v1 *a23
2
2 2 2 2 1 4 2 2
- u3 *v1*v2 *a23 - u3 *v1*v3 *a23 + ---*u3*v1 *b12 + u3*v1 *v2 *b12
2
2 2 1 4 2 2 1 4
+ u3*v1 *v3 *b12 + ---*u3*v2 *b12 + u3*v2 *v3 *b12 + ---*u3*v3 *b12
2 2
1 2 2 2 2 2 2
= - ---*u3*(((u2 + u3 + u1 )*kap - (v2 + v3 + v1 ))*b12
2
- 2*((u1*v2 - u2*v1)*a11 + (u1*v3 - u3*v1)*a23))
2 2 2 2 2 2
*((u2 + u3 + u1 )*kap + v2 + v3 + v1 )
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=u1**2*a11 + u1*v2*b12 + u2**2*a11 + 2*u2*u3*a23 - u2*v1*b12 - u3**2*a11$
FI= - 1/2*u1**3*u3*v1*b12*kap - 1/2*u1**2*u2*u3*v2*b12*kap - 1/2*u1**2*u3**2*v3*
b12*kap + u1**2*u3*v1*v2*a11 + u1**2*u3*v1*v3*a23 - 1/2*u1*u2**2*u3*v1*b12*kap -
u1*u2*u3*v1**2*a11 + u1*u2*u3*v2**2*a11 + u1*u2*u3*v2*v3*a23 - 1/2*u1*u3**3*v1*
b12*kap - u1*u3**2*v1**2*a23 + u1*u3**2*v2*v3*a11 + u1*u3**2*v3**2*a23 + 1/2*u1*
u3*v1**3*b12 + 1/2*u1*u3*v1*v2**2*b12 + 1/2*u1*u3*v1*v3**2*b12 - 1/2*u2**3*u3*v2
*b12*kap - 1/2*u2**2*u3**2*v3*b12*kap - u2**2*u3*v1*v2*a11 - 1/2*u2*u3**3*v2*b12
*kap - u2*u3**2*v1*v2*a23 - u2*u3**2*v1*v3*a11 + 1/2*u2*u3*v1**2*v2*b12 + 1/2*u2
*u3*v2**3*b12 + 1/2*u2*u3*v2*v3**2*b12 - 1/2*u3**4*v3*b12*kap - u3**3*v1*v3*a23
+ 1/2*u3**2*v1**2*v3*b12 + 1/2*u3**2*v2**2*v3*b12 + 1/2*u3**2*v3**3*b12$
FI= - 1/2*u1**4*u3*b12*kap**2 + u1**3*u3*v2*a11*kap + u1**3*u3*v3*a23*kap - u1**
2*u2**2*u3*b12*kap**2 - u1**2*u2*u3*v1*a11*kap - u1**2*u3**3*b12*kap**2 - u1**2*
u3**2*v1*a23*kap + u1*u2**2*u3*v2*a11*kap + u1*u2**2*u3*v3*a23*kap + u1*u3**3*v2
*a11*kap + u1*u3**3*v3*a23*kap + u1*u3*v1**2*v2*a11 + u1*u3*v1**2*v3*a23 + u1*u3
*v2**3*a11 + u1*u3*v2**2*v3*a23 + u1*u3*v2*v3**2*a11 + u1*u3*v3**3*a23 - 1/2*u2
**4*u3*b12*kap**2 - u2**3*u3*v1*a11*kap - u2**2*u3**3*b12*kap**2 - u2**2*u3**2*
v1*a23*kap - u2*u3**3*v1*a11*kap - u2*u3*v1**3*a11 - u2*u3*v1*v2**2*a11 - u2*u3*
v1*v3**2*a11 - 1/2*u3**5*b12*kap**2 - u3**4*v1*a23*kap - u3**2*v1**3*a23 - u3**2
*v1*v2**2*a23 - u3**2*v1*v3**2*a23 + 1/2*u3*v1**4*b12 + u3*v1**2*v2**2*b12 + u3*
v1**2*v3**2*b12 + 1/2*u3*v2**4*b12 + u3*v2**2*v3**2*b12 + 1/2*u3*v3**4*b12$