Solution 1 to problem h
Remaining equations |
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
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Equations
The following unsolved equations remain:
2 2 2
0=a11 + a23 + b12 *kap
Expressions
The solution is given through the following expressions:
r50=0
r51=0
r52=0
r53=0
r54=0
r55=0
r56=0
r57=0
r58=0
r59=0
r510=0
r511=0
r512=0
r513=0
r514=0
r515=0
r516=0
r517=0
r518=0
r519=0
r520=0
1 1
---*a11*r5225 + ---*b12*kap*r5237
2 2
r521=-----------------------------------
2
a23*kap
r522=0
a11*r5225 + b12*kap*r5237
r523=---------------------------
2
a23*kap
r524=0
1 1
---*a11*r5225 + ---*b12*kap*r5237
2 2
r525=-----------------------------------
2
a23*kap
r526=0
r527=0
r528=0
r529=0
a11*r5225 + b12*kap*r5237
r530=---------------------------
2
a23*kap
r531=0
a11*r5225 + b12*kap*r5237
r532=---------------------------
2
a23*kap
r533=0
r534=0
1 1
---*a11*r5225 + ---*b12*kap*r5237
2 2
r535=-----------------------------------
2
a23*kap
1
---*b12*r5209
2
r536=---------------
a23
r537=0
1
---*b12*r5209
2
r538=---------------
a23
r539=0
- a11*r5225 - b12*kap*r5237
r540=------------------------------
2
b12*kap
r541=0
- a11*r5225 - b12*kap*r5237
r542=------------------------------
2
b12*kap
1
---*b12*r5209
2
r543=---------------
a23
r544=0
- a11*r5225 - b12*kap*r5237
r545=------------------------------
2
b12*kap
1
---*a11*r5225
2
r546=---------------
a23*kap
r547=0
1
---*a11*r5225
2
r548=---------------
a23*kap
r549= - r5209
r550=0
1
---*a11*r5225
2
r551=---------------
a23*kap
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r552=----------------------
a23
r553=0
- 2*a11*r5225 - b12*kap*r5237
r554=--------------------------------
b12*kap
1
- a11*r5225 - ---*b12*kap*r5237
2
r555=----------------------------------
a23
r556=0
r557=0
r558=0
r559=0
r560=0
r561=0
r562=0
r563=0
r564=0
r565=0
r566=0
r567=0
r568=0
r569=0
r570=0
r571=0
1
---*b12*r5209
2
r572=---------------
a23
r573=0
1
---*b12*r5209
2
r574=---------------
a23
2 1 2
- a11 *r5225 - a11*b12*kap*r5237 + ---*b12 *kap*r5225
2
r575=--------------------------------------------------------
2
a23*b12*kap
r576=0
2 1 2
- a11 *r5225 - a11*b12*kap*r5237 + ---*b12 *kap*r5225
2
r577=--------------------------------------------------------
2
a23*b12*kap
r578=0
1
---*b12*r5209
2
r579=---------------
a23
2 1 2
- a11 *r5225 - a11*b12*kap*r5237 + ---*b12 *kap*r5225
2
r580=--------------------------------------------------------
2
a23*b12*kap
- r5225
r581=----------
kap
r582=0
- r5225
r583=----------
kap
- a11*r5209
r584=--------------
a23
r585= - r5209
- 2*r5225
r586=------------
kap
r587=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r588=----------------------
a23
2 2 1 2
- 2*a11 *r5225 - a11*b12*kap*r5237 + 2*a23 *r5225 - ---*b12 *kap*r5225
2
r589=-------------------------------------------------------------------------
a23*b12*kap
r590=r5225
r591=0
r592=0
r593=0
r594=0
r595=0
r596=0
r597=0
r598=0
r599=0
r5100=0
1
- ---*a11*r5225
2
r5101=------------------
a23*kap
r5102=0
1
- ---*a11*r5225
2
r5103=------------------
a23*kap
r5104=0
- a11*r5209
r5105=--------------
a23
3
- ---*a11*r5225
2
r5106=------------------
a23*kap
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5107=----------------------
a23
r5108=0
2*a11*r5225 - b12*kap*r5237
r5109=-----------------------------
b12*kap
- a11*r5225 - b12*kap*r5237
r5110=------------------------------
a23
r5111=0
r5112=0
r5113=0
r5114=0
r5115=0
r5116=0
r5117=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5118=----------------------
a23
1
- a11*r5237 - ---*b12*r5225
2
r5119=------------------------------
a23
r5120=r5225
r5121=0
r5122=0
r5123=0
1
- ---*b12*kap*r5237
2
r5124=----------------------
a23
r5125=0
r5126=0
r5127=0
r5128=0
r5129=0
r5130=0
r5131=0
r5132=0
r5133=0
r5134=0
r5135=0
r5136=0
r5137=0
r5138=0
r5139=0
r5140=0
a11*r5225 + b12*kap*r5237
r5141=---------------------------
2
b12*kap
2 1 2
a11 *r5225 + a11*b12*kap*r5237 - ---*b12 *kap*r5225
2
r5142=-----------------------------------------------------
2
a23*b12*kap
a11*r5225 + b12*kap*r5237
r5143=---------------------------
2
b12*kap
2 1 2
a11 *r5225 + a11*b12*kap*r5237 - ---*b12 *kap*r5225
2
r5144=-----------------------------------------------------
2
a23*b12*kap
1
---*b12*r5209
2
r5145=---------------
a23
r5146=0
1
---*b12*r5209
2
r5147=---------------
a23
a11*r5225 + b12*kap*r5237
r5148=---------------------------
2
b12*kap
2 1 2
a11 *r5225 + a11*b12*kap*r5237 - ---*b12 *kap*r5225
2
r5149=-----------------------------------------------------
2
a23*b12*kap
1
---*b12*r5209
2
r5150=---------------
a23
r5151=r5209
a11*r5209
r5152=-----------
a23
r5153=0
r5154=0
r5225
r5155=-------
kap
r5156= - r5209
2*a11*r5225 + b12*kap*r5237
r5157=-----------------------------
b12*kap
2 1 2
2*a11 *r5225 + a11*b12*kap*r5237 + ---*b12 *kap*r5225
2
r5158=-------------------------------------------------------
a23*b12*kap
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5159=----------------------
a23
r5160=0
r5161=0
r5162=0
r5163=0
r5164=0
r5165=0
r5166=0
r5167=0
r5168=0
r5169=0
r5170=0
r5171=0
r5172=r5209
a11*r5209
r5173=-----------
a23
r5225
r5174=-------
kap
2*a11*r5225
r5175=-------------
a23*kap
- a11*r5209
r5176=--------------
a23
- 2*a23*r5225
r5177=----------------
b12*kap
- 2*a11*r5225
r5178=----------------
b12*kap
r5179=0
r5180=0
r5181=0
r5182=0
r5183=0
r5184=0
r5185=0
r5186=0
r5187=r5237
1
a11*r5237 + ---*b12*r5225
2
r5188=---------------------------
a23
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5189=----------------------
a23
r5190=0
r5191=0
r5192=0
r5193=0
r5194=0
r5195=0
r5196=0
r5197=0
r5198=0
r5199=0
r5200=0
r5201=0
r5202=0
r5203=0
r5204=0
r5205=0
1
- ---*a11*r5225
2
r5206=------------------
a23*kap
- r5225
r5207=----------
kap
3
- ---*a11*r5225
2
r5208=------------------
a23*kap
a11*r5209
r5210=-----------
a23
1
- ---*a11*r5225
2
r5211=------------------
a23*kap
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5212=----------------------
a23
r5213=0
r5214= - r5237
- a11*r5225 - b12*kap*r5237
r5215=------------------------------
a23
r5216=0
r5217=0
r5218=0
r5219=0
r5220=0
r5221=0
r5222=0
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5223=----------------------
a23
1
- a11*r5237 - ---*b12*r5225
2
r5224=------------------------------
a23
r5226=0
r5227=0
r5228=0
- b12*kap*r5237
r5229=------------------
a23
r5230=0
r5231=0
r5232=0
r5233=0
r5234=0
r5235=0
r5236=0
1
a11*r5237 + ---*b12*r5225
2
r5238=---------------------------
a23
1
- ---*b12*kap*r5209
2
r5239=----------------------
a23
r5240=0
r5241=0
r5242=0
r5243=0
r5244=0
r5245=0
r5246=0
r5247=0
r5248=0
1
- ---*b12*kap*r5237
2
r5249=----------------------
a23
r5250=0
r5251=0
a33= - a11
a22=a11
a13=0
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r5209, r5237, r5225, a11, a23, b12
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{a23,b12}
Relevance for the application:
Modulo the following equation:
2 2 2
0=a11 + a23 + b12 *kap
the system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 2 2
HAM=u1 *a11 + u1*v2*b12 + u2 *a11 + 2*u2*u3*a23 - u2*v1*b12 - u3 *a11
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following 3 first integrals:
1 3 2 2 2 2 2
FI=---*u1 *u3*v2*b12 *kap + u1 *u2*u3 *a23*b12*kap
2
1 2 2 2 2 3 2
- ---*u1 *u2*u3*v1*b12 *kap - u1 *u3 *a11*b12*kap
2
1 2 2 3 2 2
- ---*u1 *u3*v1 *a11*b12*kap - ---*u1 *u3*v2 *a11*b12*kap
2 2
2 1 2 2
- u1 *u3*v2*v3*a23*b12*kap - ---*u1 *u3*v3 *a11*b12*kap
2
1 2 2 2 2
+ ---*u1*u2 *u3*v2*b12 *kap - 2*u1*u2*u3 *v2*a11*a23*kap
2
2 2
- 2*u1*u2*u3 *v3*a23 *kap + 2*u1*u2*u3*v1*v2*a11*b12*kap
3 2 1 2 2
+ u1*u2*u3*v1*v3*a23*b12*kap + u1*u3 *v2*(2*a11 *kap + ---*b12 *kap )
2
3 2
+ 2*u1*u3 *v3*a11*a23*kap + u1*u3 *v1*v2*a23*b12*kap
2 2 1 2 2
+ u1*u3*v1 *v2*(a11 - ---*b12 *kap) + u1*u3*v1 *v3*a11*a23
2
3 2 1 2 2
+ u1*u3*v2 *(a11 - ---*b12 *kap) + u1*u3*v2 *v3*a11*a23
2
2 2 1 2 3
+ u1*u3*v2*v3 *(a11 - ---*b12 *kap) + u1*u3*v3 *a11*a23
2
3 2 2 1 3 2 2 2 3 2
+ u2 *u3 *a23*b12*kap - ---*u2 *u3*v1*b12 *kap - u2 *u3 *a11*b12*kap
2
2 2 3 2 2
+ 2*u2 *u3 *v1*a11*a23*kap - ---*u2 *u3*v1 *a11*b12*kap
2
1 2 2 1 2 2
- ---*u2 *u3*v2 *a11*b12*kap - ---*u2 *u3*v3 *a11*b12*kap
2 2
4 2
+ u2*u3 *a23*b12*kap
3 2 2 1 2 2
+ u2*u3 *v1*( - 2*a11 *kap + 2*a23 *kap - ---*b12 *kap )
2
2 2 2 2 2 2
- 2*u2*u3 *v1 *a23*b12*kap - u2*u3 *v2 *a23*b12*kap - u2*u3 *v3 *a23*b12*kap
3 2 1 2 2 2 1 2
+ u2*u3*v1 *( - a11 + ---*b12 *kap) + u2*u3*v1*v2 *( - a11 + ---*b12 *kap)
2 2
2 2 1 2 5 2
+ u2*u3*v1*v3 *( - a11 + ---*b12 *kap) - u3 *a11*b12*kap
2
4 1 3 2 1 3 2
- 2*u3 *v1*a11*a23*kap + ---*u3 *v1 *a11*b12*kap + ---*u3 *v2 *a11*b12*kap
2 2
1 3 2 2 3 2 2
+ ---*u3 *v3 *a11*b12*kap - u3 *v1 *a11*a23 - u3 *v1*v2 *a11*a23
2
2 2 1 4 2 2
- u3 *v1*v3 *a11*a23 + ---*u3*v1 *a11*b12 + u3*v1 *v2 *a11*b12
2
2 2 1 4 2 2
+ u3*v1 *v3 *a11*b12 + ---*u3*v2 *a11*b12 + u3*v2 *v3 *a11*b12
2
1 4
+ ---*u3*v3 *a11*b12
2
1 2 2 2 2 2 2
= - ---*u3*(((u2 + u3 + u1 )*kap - (v2 + v3 + v1 ))*b12
2
- 2*((u1*v2 - u2*v1)*a11 + (u1*v3 - u3*v1)*a23))*(
2 2 2 2
(v2 + v3 + v1 + 2*kap*u3 )*a11
- ((u1*v2 - u2*v1)*b12 + 2*a23*u2*u3)*kap)
{HAM,FI} = 0
1 4 2 3 3
FI= - ---*u1 *u3*b12*kap + u1 *u3*v2*a11*kap + u1 *u3*v3*a23*kap
2
2 2 2 2 2 3 2
- u1 *u2 *u3*b12*kap - u1 *u2*u3*v1*a11*kap - u1 *u3 *b12*kap
2 2 2 2
- u1 *u3 *v1*a23*kap + u1*u2 *u3*v2*a11*kap + u1*u2 *u3*v3*a23*kap
3 3 2
+ u1*u3 *v2*a11*kap + u1*u3 *v3*a23*kap + u1*u3*v1 *v2*a11
2 3 2 2
+ u1*u3*v1 *v3*a23 + u1*u3*v2 *a11 + u1*u3*v2 *v3*a23 + u1*u3*v2*v3 *a11
3 1 4 2 3 2 3 2
+ u1*u3*v3 *a23 - ---*u2 *u3*b12*kap - u2 *u3*v1*a11*kap - u2 *u3 *b12*kap
2
2 2 3 3 2
- u2 *u3 *v1*a23*kap - u2*u3 *v1*a11*kap - u2*u3*v1 *a11 - u2*u3*v1*v2 *a11
2 1 5 2 4 2 3
- u2*u3*v1*v3 *a11 - ---*u3 *b12*kap - u3 *v1*a23*kap - u3 *v1 *a23
2
2 2 2 2 1 4 2 2
- u3 *v1*v2 *a23 - u3 *v1*v3 *a23 + ---*u3*v1 *b12 + u3*v1 *v2 *b12
2
2 2 1 4 2 2 1 4
+ u3*v1 *v3 *b12 + ---*u3*v2 *b12 + u3*v2 *v3 *b12 + ---*u3*v3 *b12
2 2
1 2 2 2 2 2 2
= - ---*u3*(((u2 + u3 + u1 )*kap - (v2 + v3 + v1 ))*b12
2
- 2*((u1*v2 - u2*v1)*a11 + (u1*v3 - u3*v1)*a23))
2 2 2 2 2 2
*((u2 + u3 + u1 )*kap + v2 + v3 + v1 )
{HAM,FI} = 0
1 3 1 2 1 2 2
FI= - ---*u1 *u3*v1*b12*kap - ---*u1 *u2*u3*v2*b12*kap - ---*u1 *u3 *v3*b12*kap
2 2 2
2 2 1 2
+ u1 *u3*v1*v2*a11 + u1 *u3*v1*v3*a23 - ---*u1*u2 *u3*v1*b12*kap
2
2 2
- u1*u2*u3*v1 *a11 + u1*u2*u3*v2 *a11 + u1*u2*u3*v2*v3*a23
1 3 2 2 2 2 2
- ---*u1*u3 *v1*b12*kap - u1*u3 *v1 *a23 + u1*u3 *v2*v3*a11 + u1*u3 *v3 *a23
2
1 3 1 2 1 2
+ ---*u1*u3*v1 *b12 + ---*u1*u3*v1*v2 *b12 + ---*u1*u3*v1*v3 *b12
2 2 2
1 3 1 2 2 2
- ---*u2 *u3*v2*b12*kap - ---*u2 *u3 *v3*b12*kap - u2 *u3*v1*v2*a11
2 2
1 3 2 2
- ---*u2*u3 *v2*b12*kap - u2*u3 *v1*v2*a23 - u2*u3 *v1*v3*a11
2
1 2 1 3 1 2
+ ---*u2*u3*v1 *v2*b12 + ---*u2*u3*v2 *b12 + ---*u2*u3*v2*v3 *b12
2 2 2
1 4 3 1 2 2
- ---*u3 *v3*b12*kap - u3 *v1*v3*a23 + ---*u3 *v1 *v3*b12
2 2
1 2 2 1 2 3
+ ---*u3 *v2 *v3*b12 + ---*u3 *v3 *b12
2 2
1 2 2 2 2 2 2
= - ---*u3*(((u2 + u3 + u1 )*kap - (v2 + v3 + v1 ))*b12
2
- 2*((u1*v2 - u2*v1)*a11 + (u1*v3 - u3*v1)*a23))
*(u2*v2 + u3*v3 + u1*v1)
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=u1**2*a11 + u1*v2*b12 + u2**2*a11 + 2*u2*u3*a23 - u2*v1*b12 - u3**2*a11$
FI=1/2*u1**3*u3*v2*b12**2*kap**2 + u1**2*u2*u3**2*a23*b12*kap**2 - 1/2*u1**2*u2*
u3*v1*b12**2*kap**2 - u1**2*u3**3*a11*b12*kap**2 - 1/2*u1**2*u3*v1**2*a11*b12*
kap - 3/2*u1**2*u3*v2**2*a11*b12*kap - u1**2*u3*v2*v3*a23*b12*kap - 1/2*u1**2*u3
*v3**2*a11*b12*kap + 1/2*u1*u2**2*u3*v2*b12**2*kap**2 - 2*u1*u2*u3**2*v2*a11*a23
*kap - 2*u1*u2*u3**2*v3*a23**2*kap + 2*u1*u2*u3*v1*v2*a11*b12*kap + u1*u2*u3*v1*
v3*a23*b12*kap + u1*u3**3*v2*(2*a11**2*kap + 1/2*b12**2*kap**2) + 2*u1*u3**3*v3*
a11*a23*kap + u1*u3**2*v1*v2*a23*b12*kap + u1*u3*v1**2*v2*(a11**2 - 1/2*b12**2*
kap) + u1*u3*v1**2*v3*a11*a23 + u1*u3*v2**3*(a11**2 - 1/2*b12**2*kap) + u1*u3*v2
**2*v3*a11*a23 + u1*u3*v2*v3**2*(a11**2 - 1/2*b12**2*kap) + u1*u3*v3**3*a11*a23
+ u2**3*u3**2*a23*b12*kap**2 - 1/2*u2**3*u3*v1*b12**2*kap**2 - u2**2*u3**3*a11*
b12*kap**2 + 2*u2**2*u3**2*v1*a11*a23*kap - 3/2*u2**2*u3*v1**2*a11*b12*kap - 1/2
*u2**2*u3*v2**2*a11*b12*kap - 1/2*u2**2*u3*v3**2*a11*b12*kap + u2*u3**4*a23*b12*
kap**2 + u2*u3**3*v1*( - 2*a11**2*kap + 2*a23**2*kap - 1/2*b12**2*kap**2) - 2*u2
*u3**2*v1**2*a23*b12*kap - u2*u3**2*v2**2*a23*b12*kap - u2*u3**2*v3**2*a23*b12*
kap + u2*u3*v1**3*( - a11**2 + 1/2*b12**2*kap) + u2*u3*v1*v2**2*( - a11**2 + 1/2
*b12**2*kap) + u2*u3*v1*v3**2*( - a11**2 + 1/2*b12**2*kap) - u3**5*a11*b12*kap**
2 - 2*u3**4*v1*a11*a23*kap + 1/2*u3**3*v1**2*a11*b12*kap + 1/2*u3**3*v2**2*a11*
b12*kap + 1/2*u3**3*v3**2*a11*b12*kap - u3**2*v1**3*a11*a23 - u3**2*v1*v2**2*a11
*a23 - u3**2*v1*v3**2*a11*a23 + 1/2*u3*v1**4*a11*b12 + u3*v1**2*v2**2*a11*b12 +
u3*v1**2*v3**2*a11*b12 + 1/2*u3*v2**4*a11*b12 + u3*v2**2*v3**2*a11*b12 + 1/2*u3*
v3**4*a11*b12$
FI= - 1/2*u1**4*u3*b12*kap**2 + u1**3*u3*v2*a11*kap + u1**3*u3*v3*a23*kap - u1**
2*u2**2*u3*b12*kap**2 - u1**2*u2*u3*v1*a11*kap - u1**2*u3**3*b12*kap**2 - u1**2*
u3**2*v1*a23*kap + u1*u2**2*u3*v2*a11*kap + u1*u2**2*u3*v3*a23*kap + u1*u3**3*v2
*a11*kap + u1*u3**3*v3*a23*kap + u1*u3*v1**2*v2*a11 + u1*u3*v1**2*v3*a23 + u1*u3
*v2**3*a11 + u1*u3*v2**2*v3*a23 + u1*u3*v2*v3**2*a11 + u1*u3*v3**3*a23 - 1/2*u2
**4*u3*b12*kap**2 - u2**3*u3*v1*a11*kap - u2**2*u3**3*b12*kap**2 - u2**2*u3**2*
v1*a23*kap - u2*u3**3*v1*a11*kap - u2*u3*v1**3*a11 - u2*u3*v1*v2**2*a11 - u2*u3*
v1*v3**2*a11 - 1/2*u3**5*b12*kap**2 - u3**4*v1*a23*kap - u3**2*v1**3*a23 - u3**2
*v1*v2**2*a23 - u3**2*v1*v3**2*a23 + 1/2*u3*v1**4*b12 + u3*v1**2*v2**2*b12 + u3*
v1**2*v3**2*b12 + 1/2*u3*v2**4*b12 + u3*v2**2*v3**2*b12 + 1/2*u3*v3**4*b12$
FI= - 1/2*u1**3*u3*v1*b12*kap - 1/2*u1**2*u2*u3*v2*b12*kap - 1/2*u1**2*u3**2*v3*
b12*kap + u1**2*u3*v1*v2*a11 + u1**2*u3*v1*v3*a23 - 1/2*u1*u2**2*u3*v1*b12*kap -
u1*u2*u3*v1**2*a11 + u1*u2*u3*v2**2*a11 + u1*u2*u3*v2*v3*a23 - 1/2*u1*u3**3*v1*
b12*kap - u1*u3**2*v1**2*a23 + u1*u3**2*v2*v3*a11 + u1*u3**2*v3**2*a23 + 1/2*u1*
u3*v1**3*b12 + 1/2*u1*u3*v1*v2**2*b12 + 1/2*u1*u3*v1*v3**2*b12 - 1/2*u2**3*u3*v2
*b12*kap - 1/2*u2**2*u3**2*v3*b12*kap - u2**2*u3*v1*v2*a11 - 1/2*u2*u3**3*v2*b12
*kap - u2*u3**2*v1*v2*a23 - u2*u3**2*v1*v3*a11 + 1/2*u2*u3*v1**2*v2*b12 + 1/2*u2
*u3*v2**3*b12 + 1/2*u2*u3*v2*v3**2*b12 - 1/2*u3**4*v3*b12*kap - u3**3*v1*v3*a23
+ 1/2*u3**2*v1**2*v3*b12 + 1/2*u3**2*v2**2*v3*b12 + 1/2*u3**2*v3**3*b12$