Solution 2 to problem over
Remaining equations |
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
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Equations
The following unsolved equations remain:
2 2
0=a23 + b33
Expressions
The solution is given through the following expressions:
r51=0
r52=r511
r53=0
1
r54=---*r513
2
r55=0
r56=0
r57=0
r58=0
r59=0
r510=0
r512=0
r514=0
r515=0
r516=0
r517=0
1
r518=---*r513
2
r519=0
r520=0
b33*r556
r521=----------
a23
r522=0
b33*r565
r523=----------
a23
r524=0
r525=0
r526=0
2
b33 *r5168
r527=------------
2
a23
r528=0
r529=0
b33*r565
r530=----------
a23
r531=0
r532=0
r533=0
r534=0
r535=0
3 2 1 2 1 3
a23 *r5196 + 2*a23 *b33*r556 + ---*a23*b33 *r5101 - ---*b33 *r5216
4 4
r536=--------------------------------------------------------------------
3
a23
r537=0
a23*r5198 + 2*b33*r565
r538=------------------------
a23
r539=0
r540=0
r541
8 6 4 2 16 2 4 8 6
- ---*a23 *r5168 + 4*a23 *b33 *r5168 + ----*a23 *b33 *r5168 + ---*b33 *r5168
3 3 3
=-------------------------------------------------------------------------------
6
a23
r542=0
a23*r5198 + 2*b33*r565
r543=------------------------
a23
r544=0
r545=0
2 2 3
a23 *b33*r5216 + a23*b33 *r5101 - b33 *r5216
r546=----------------------------------------------
3
a23
r547=0
r548=0
r549=0
4 2 8 2
- ---*a23 *r5168 + ---*b33 *r5168
3 3
r550=------------------------------------
2
a23
r551=0
3 2 2 3
a23 *r5246 + 2*a23 *b33*r5216 + a23*b33 *r5101 - b33 *r5216
r552=-------------------------------------------------------------
3
a23
r553=0
r554=0
r555=0
r557=0
r558=r565
r559=0
r560=0
r561=0
b33*r5168
r562=-----------
a23
r563=0
r564=0
r566=0
r567=0
r568=0
r569=0
r570=0
2 1 1 2
2*a23 *r556 + ---*a23*b33*r5101 - ---*b33 *r5216
2 2
r571=--------------------------------------------------
2
a23
r572=0
r573=2*r565
r574=0
r575=0
14 6 20 4 3 2 5
r576=(----*a23 *b33*r5168 - ----*a23 *b33 *r5168 - 8*a23 *b33 *r5168
3 3
8 7 7
- ---*b33 *r5168)/a23
3
r577=0
r578=2*r565
r579=0
r580=0
2 2
a23 *r5216 + 2*a23*b33*r5101 - 2*b33 *r5216
r581=---------------------------------------------
2
a23
r582=0
r583=0
r584=0
8*b33*r5168
r585=-------------
a23
r586=0
2 2
2*a23 *r5216 + 2*a23*b33*r5101 - 2*b33 *r5216
r587=-----------------------------------------------
2
a23
r588=0
r589=0
r590=0
1 1
---*a23*r5101 + a23*r5196 - ---*b33*r5216
4 4
r591=-------------------------------------------
a23
r592=0
r593=r5198
r594=0
r595=0
r596=2*r5168
r597=0
r598=r5198
r599=0
r5100=0
r5102=0
r5103=0
r5104=0
4 4 2 2 16 4
---*a23 *r5168 - 8*a23 *b33 *r5168 - ----*b33 *r5168
3 3
r5105=------------------------------------------------------
4
a23
r5106=0
a23*r5101 + 2*a23*r5246 + b33*r5216
r5107=-------------------------------------
a23
r5108=0
r5109=0
r5110=0
r5111=r5216
r5112=0
r5113=0
r5114=0
r5115=0
r5116=0
r5117=2*r5216
r5118=0
r5119=0
r5120=0
r5121=r5246
r5122=0
r5123=0
r5124=0
r5125=0
r5126=0
r5127=0
1 6 1 4 3 4 2 5
r5128=(---*a23 *b33*r5168 - ---*a23 *b33 *r5168 - ---*a23 *b33 *r5168
2 6 3
2 7 7
- ---*b33 *r5168)/a23
3
r5129=0
r5130=0
r5131=0
r5132=0
r5133=0
r5134=0
r5135=0
r5136=0
r5137=0
r5138=0
r5139=0
r5140=0
r5141=0
r5142=0
r5143=
6 4 4 3 8 2 5 4 7
- a23 *b33*r5168 + ---*a23 *b33 *r5168 + ---*a23 *b33 *r5168 + ---*b33 *r5168
3 3 3
--------------------------------------------------------------------------------
7
a23
r5144=0
r5145=0
r5146=0
r5147=0
r5148
6 4 4 3 8 2 5 4 7
a23 *b33*r5168 - ---*a23 *b33 *r5168 - ---*a23 *b33 *r5168 - ---*b33 *r5168
3 3 3
=-----------------------------------------------------------------------------
7
a23
r5149=0
r5150=0
r5151=0
r5152=0
2 2 4 3
- ---*a23 *b33*r5168 + ---*b33 *r5168
3 3
r5153=----------------------------------------
3
a23
r5154=0
r5155=0
2 2 4 3
---*a23 *b33*r5168 - ---*b33 *r5168
3 3
r5156=-------------------------------------
3
a23
r5157=0
r5158=0
r5159=0
r5160=0
r5161=0
r5162=0
r5163= - r5168
r5164=0
r5165=0
r5166=0
r5167=0
r5169=0
r5170=0
r5171=0
r5172=0
2 4 2 2 8 4
- ---*a23 *r5168 + 4*a23 *b33 *r5168 + ---*b33 *r5168
3 3
r5173=--------------------------------------------------------
4
a23
r5174=0
r5175=0
2 4 2 2 8 4
---*a23 *r5168 - 4*a23 *b33 *r5168 - ---*b33 *r5168
3 3
r5176=-----------------------------------------------------
4
a23
r5177=0
r5178=0
r5179=0
r5180=0
r5181=0
r5182=0
r5183=0
r5184=0
r5185=0
r5186=0
r5187=0
r5188=0
r5189=0
r5190=0
r5191=0
r5192=0
r5193=0
r5194=0
r5195=0
r5197=0
r5199=0
r5200=0
4 4 2 2 8 4
- ---*a23 *r5168 - 4*a23 *b33 *r5168 - ---*b33 *r5168
3 3
r5201=--------------------------------------------------------
4
a23
r5202=0
r5203=r5198
r5204=0
r5205=0
b33*r5216
r5206=-----------
a23
r5207=0
r5208=0
r5209=0
r5210=0
r5211=0
2*a23*r5246 + 2*b33*r5216
r5212=---------------------------
a23
r5213=0
r5214=0
r5215=0
r5217=0
r5218=0
r5219=0
r5220=0
r5221=0
r5222=2*r5216
r5223=0
r5224=0
r5225=0
r5226=2*r5246
r5227=0
r5228=0
r5229=0
r5230=0
r5231=0
r5232=0
r5233=0
r5234=0
r5235=0
r5236=0
r5237=0
r5238=0
r5239=0
r5240=0
r5241=0
r5242=0
r5243=0
r5244=0
r5245=0
r5247=0
r5248=0
r5249=0
r5250=0
r5251=0
c33=0
c23=0
b32=0
b23=a23
a33=2*b33
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r50, r511, r513, r556, r565, r5101, r5196, r5198, r5216,
r5246, r5168, b33, a23
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{b33,a23,r5168}
Relevance for the application:
Modulo the following equation:
2 2
0=a23 + b33
the system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2
HAM=2*u2*u3*a23 + u2*v3*a23 + 2*u3 *b33 + u3*v3*b33
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following 11 first integrals:
2 4 7 5 2 8 3 4
FI=u1 *v1*v2*v3*( - ---*a23 - 4*a23 *b33 - ---*a23 *b33 )
3 3
2 2 7 5 2 8 3 4
+ u1*u2*u3*v1 *(---*a23 - 4*a23 *b33 - ---*a23 *b33 )
3 3
2 2 7 5 2 8 3 4
+ u1*u2*u3*v2 *( - ---*a23 + 4*a23 *b33 + ---*a23 *b33 )
3 3
2 7 2 7
+ u1*u2*v1 *v3*a23 - u1*u2*v2 *v3*a23
2 2 2 6 4 4 3
+ u1*u3 *v1 *(---*a23 *b33 - ---*a23 *b33 )
3 3
2 2 2 6 4 4 3
+ u1*u3 *v2 *( - ---*a23 *b33 + ---*a23 *b33 )
3 3
2 6 4 4 3 8 2 5 4 7
+ u1*u3*v1 *v3*(a23 *b33 - ---*a23 *b33 - ---*a23 *b33 - ---*b33 )
3 3 3
2 6 4 4 3 8 2 5 4 7
+ u1*u3*v2 *v3*( - a23 *b33 + ---*a23 *b33 + ---*a23 *b33 + ---*b33 )
3 3 3
2 2 1 6 1 4 3 4 2 5 2 7
+ u1*v2 *v3 *(---*a23 *b33 - ---*a23 *b33 - ---*a23 *b33 - ---*b33 )
2 6 3 3
2 4 7 5 2 16 3 4
+ u2 *u3*v1*v2*(---*a23 - 8*a23 *b33 - ----*a23 *b33 )
3 3
2 7 2 6
+ 2*u2 *v1*v2*v3*a23 + 8*u2*u3 *v1*v2*a23 *b33
14 6 20 4 3 2 5 8 7
+ u2*u3*v1*v2*v3*(----*a23 *b33 - ----*a23 *b33 - 8*a23 *b33 - ---*b33 )
3 3 3
2 6 3 4 7 8 5 2
+ u2*v1*v2*v3 *a23 *b33 + u3 *v1*v2*( - ---*a23 + ---*a23 *b33 )
3 3
2 8 7 5 2 16 3 4 8 6
+ u3 *v1*v2*v3*( - ---*a23 + 4*a23 *b33 + ----*a23 *b33 + ---*a23*b33 )
3 3 3
2 5 2
+ u3*v1*v2*v3 *a23 *b33
1
= a product of the elements of: { - ---,
6
2 7 5 2 3 4
u1 *v1*v2*v3*(8*a23 + 24*a23 *b33 + 16*a23 *b33 )
2 7 5 2 3 4
+ u1*u2*u3*v1 *( - 4*a23 + 24*a23 *b33 + 16*a23 *b33 )
2 7 5 2 3 4 2 7
+ u1*u2*u3*v2 *(4*a23 - 24*a23 *b33 - 16*a23 *b33 ) - 6*u1*u2*v1 *v3*a23
2 7 2 2 6 4 3
+ 6*u1*u2*v2 *v3*a23 + u1*u3 *v1 *( - 4*a23 *b33 + 8*a23 *b33 )
2 2 6 4 3
+ u1*u3 *v2 *(4*a23 *b33 - 8*a23 *b33 )
2 6 4 3 2 5 7
+ u1*u3*v1 *v3*( - 6*a23 *b33 + 8*a23 *b33 + 16*a23 *b33 + 8*b33 )
2 6 4 3 2 5 7
+ u1*u3*v2 *v3*(6*a23 *b33 - 8*a23 *b33 - 16*a23 *b33 - 8*b33 )
2 2 6 4 3 2 5 7
+ u1*v2 *v3 *( - 3*a23 *b33 + a23 *b33 + 8*a23 *b33 + 4*b33 )
2 7 5 2 3 4
+ u2 *u3*v1*v2*( - 8*a23 + 48*a23 *b33 + 32*a23 *b33 )
2 7 2 6
- 12*u2 *v1*v2*v3*a23 - 48*u2*u3 *v1*v2*a23 *b33
6 4 3 2 5 7
+ u2*u3*v1*v2*v3*( - 28*a23 *b33 + 40*a23 *b33 + 48*a23 *b33 + 16*b33 )
2 6 3 7 5 2
- 6*u2*v1*v2*v3 *a23 *b33 + u3 *v1*v2*(8*a23 - 16*a23 *b33 )
2 7 5 2 3 4 6
+ u3 *v1*v2*v3*(16*a23 - 24*a23 *b33 - 32*a23 *b33 - 16*a23*b33 )
2 5 2
- 6*u3*v1*v2*v3 *a23 *b33 }
{HAM,FI} = 0
4 2 2 2 2 4 2 2 4
FI=u1 *v3 + 2*u1 *u2 *v3 + 2*u1 *u3 *v3 + u2 *v3 + 2*u2 *u3 *v3 + u3 *v3
2 2 2 2 2 2
= a product of the elements of: {u1 + u2 + u3 ,u1 + u2 + u3 ,v3}
{HAM,FI} = 0
2 3 2 2 3 2 2 2
FI=2*u1 *u2*u3*v3*a23 + u1 *u2*v3 *a23 + 2*u1 *u3 *v3*a23 *b33
2 2 2 3 3 3 2 3
+ u1 *u3*v3 *a23 *b33 + 2*u2 *u3*v3*a23 + u2 *v3 *a23
2 2 2 1 2 3 2
+ u2 *u3 *v3*a23 *b33 - ---*u2 *v3 *a23 *b33
4
3 3 2 2 2 3 2
+ u2*u3 *v3*(2*a23 - 2*a23*b33 ) + u2*u3 *v3 *(a23 - 2*a23*b33 )
1 3 2 4 2 3
- ---*u2*u3*v3 *a23*b33 + u3 *v3*(2*a23 *b33 - b33 )
2
3 2 2 3 1 2 3 3
+ u3 *v3 *(a23 *b33 - b33 ) - ---*u3 *v3 *b33
4
1
= a product of the elements of: {---,
4
v3,
2*u3 + v3,
u2*a23 + u3*b33,
2 2 2 2
4*u1 *a23 + 4*u2 *a23 - 2*u2*u3*a23*b33 - u2*v3*a23*b33
2 2 2 2
+ u3 *(4*a23 - 2*b33 ) - u3*v3*b33 }
{HAM,FI} = 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
FI=u1 *v1 *v3 + u1 *v2 *v3 + u2 *v1 *v3 + u2 *v2 *v3 + u3 *v1 *v3 + u3 *v2 *v3
2 2 2 2 2
= a product of the elements of: {v3,v1 + v2 ,u1 + u2 + u3 }
{HAM,FI} = 0
2 3 2 3 2 3
FI=u1 *v3 + u2 *v3 + u3 *v3
2 2 2
= a product of the elements of: {v3,v3,v3,u1 + u2 + u3 }
{HAM,FI} = 0
2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3
FI=u2 *u3 *v3*a23 + u2 *u3*v3 *a23 + ---*u2 *v3 *a23 + 2*u2*u3 *v3*a23*b33
4
2 2 1 3 4 2 3 2 2
+ 2*u2*u3 *v3 *a23*b33 + ---*u2*u3*v3 *a23*b33 + u3 *v3*b33 + u3 *v3 *b33
2
1 2 3 2
+ ---*u3 *v3 *b33
4
1
= a product of the elements of: {---,
4
2*u3 + v3,
2*u3 + v3,
u2*a23 + u3*b33,
u2*a23 + u3*b33,
v3}
{HAM,FI} = 0
2 2 2 2 2 2
FI=2*u2*u3*v1 *v3*a23 + 2*u2*u3*v2 *v3*a23 + u2*v1 *v3 *a23 + u2*v2 *v3 *a23
2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2*u3 *v1 *v3*b33 + 2*u3 *v2 *v3*b33 + u3*v1 *v3 *b33 + u3*v2 *v3 *b33
= a product of the elements of: {v3,
2 2
v1 + v2 ,
2*u3 + v3,
u2*a23 + u3*b33}
{HAM,FI} = 0
3 4 2 3 4
FI=2*u2*u3*v3 *a23 + u2*v3 *a23 + 2*u3 *v3 *b33 + u3*v3 *b33
= a product of the elements of: {v3,
v3,
v3,
2*u3 + v3,
u2*a23 + u3*b33}
{HAM,FI} = 0
1 4 2 2 1 4
FI=---*v1 *v3 + v1 *v2 *v3 + ---*v2 *v3
2 2
1 2 2 2 2
= a product of the elements of: {---,v1 + v2 ,v1 + v2 ,v3}
2
{HAM,FI} = 0
2 3 2 3
FI=v1 *v3 + v2 *v3
2 2
= a product of the elements of: {v3,v3,v3,v1 + v2 }
{HAM,FI} = 0
5
FI=v3
= a product of the elements of: {v3,
v3,
v3,
v3,
v3}
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=2*u2*u3*a23 + u2*v3*a23 + 2*u3**2*b33 + u3*v3*b33$
FI=u1**2*v1*v2*v3*( - 4/3*a23**7 - 4*a23**5*b33**2 - 8/3*a23**3*b33**4) + u1*u2*
u3*v1**2*(2/3*a23**7 - 4*a23**5*b33**2 - 8/3*a23**3*b33**4) + u1*u2*u3*v2**2*( -
2/3*a23**7 + 4*a23**5*b33**2 + 8/3*a23**3*b33**4) + u1*u2*v1**2*v3*a23**7 - u1*
u2*v2**2*v3*a23**7 + u1*u3**2*v1**2*(2/3*a23**6*b33 - 4/3*a23**4*b33**3) + u1*u3
**2*v2**2*( - 2/3*a23**6*b33 + 4/3*a23**4*b33**3) + u1*u3*v1**2*v3*(a23**6*b33 -
4/3*a23**4*b33**3 - 8/3*a23**2*b33**5 - 4/3*b33**7) + u1*u3*v2**2*v3*( - a23**6
*b33 + 4/3*a23**4*b33**3 + 8/3*a23**2*b33**5 + 4/3*b33**7) + u1*v2**2*v3**2*(1/2
*a23**6*b33 - 1/6*a23**4*b33**3 - 4/3*a23**2*b33**5 - 2/3*b33**7) + u2**2*u3*v1*
v2*(4/3*a23**7 - 8*a23**5*b33**2 - 16/3*a23**3*b33**4) + 2*u2**2*v1*v2*v3*a23**7
+ 8*u2*u3**2*v1*v2*a23**6*b33 + u2*u3*v1*v2*v3*(14/3*a23**6*b33 - 20/3*a23**4*
b33**3 - 8*a23**2*b33**5 - 8/3*b33**7) + u2*v1*v2*v3**2*a23**6*b33 + u3**3*v1*v2
*( - 4/3*a23**7 + 8/3*a23**5*b33**2) + u3**2*v1*v2*v3*( - 8/3*a23**7 + 4*a23**5*
b33**2 + 16/3*a23**3*b33**4 + 8/3*a23*b33**6) + u3*v1*v2*v3**2*a23**5*b33**2$
FI=u1**4*v3 + 2*u1**2*u2**2*v3 + 2*u1**2*u3**2*v3 + u2**4*v3 + 2*u2**2*u3**2*v3
+ u3**4*v3$
FI=2*u1**2*u2*u3*v3*a23**3 + u1**2*u2*v3**2*a23**3 + 2*u1**2*u3**2*v3*a23**2*b33
+ u1**2*u3*v3**2*a23**2*b33 + 2*u2**3*u3*v3*a23**3 + u2**3*v3**2*a23**3 + u2**2
*u3**2*v3*a23**2*b33 - 1/4*u2**2*v3**3*a23**2*b33 + u2*u3**3*v3*(2*a23**3 - 2*
a23*b33**2) + u2*u3**2*v3**2*(a23**3 - 2*a23*b33**2) - 1/2*u2*u3*v3**3*a23*b33**
2 + u3**4*v3*(2*a23**2*b33 - b33**3) + u3**3*v3**2*(a23**2*b33 - b33**3) - 1/4*
u3**2*v3**3*b33**3$
FI=u1**2*v1**2*v3 + u1**2*v2**2*v3 + u2**2*v1**2*v3 + u2**2*v2**2*v3 + u3**2*v1
**2*v3 + u3**2*v2**2*v3$
FI=u1**2*v3**3 + u2**2*v3**3 + u3**2*v3**3$
FI=u2**2*u3**2*v3*a23**2 + u2**2*u3*v3**2*a23**2 + 1/4*u2**2*v3**3*a23**2 + 2*u2
*u3**3*v3*a23*b33 + 2*u2*u3**2*v3**2*a23*b33 + 1/2*u2*u3*v3**3*a23*b33 + u3**4*
v3*b33**2 + u3**3*v3**2*b33**2 + 1/4*u3**2*v3**3*b33**2$
FI=2*u2*u3*v1**2*v3*a23 + 2*u2*u3*v2**2*v3*a23 + u2*v1**2*v3**2*a23 + u2*v2**2*
v3**2*a23 + 2*u3**2*v1**2*v3*b33 + 2*u3**2*v2**2*v3*b33 + u3*v1**2*v3**2*b33 +
u3*v2**2*v3**2*b33$
FI=2*u2*u3*v3**3*a23 + u2*v3**4*a23 + 2*u3**2*v3**3*b33 + u3*v3**4*b33$
FI=1/2*v1**4*v3 + v1**2*v2**2*v3 + 1/2*v2**4*v3$
FI=v1**2*v3**3 + v2**2*v3**3$
FI=v3**5$