Solution 7 to problem over
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
Back to problem over
Expressions
The solution is given through the following expressions:
1 2 1 1 3
- ---*b31 *b33*r324 + ---*b31*b32*b33*r325 + ---*b33 *r324
4 2 4
r30=-------------------------------------------------------------
a23*b31*b32
1 2 1 3 2
- ---*b31 *r324 + ---*b31*b32*r325 + ---*b33 *r324
4 2 4
r31=-----------------------------------------------------
a23*b31
1 2 1 3 2
- ---*b31 *b33*r324 + ---*b31*b32*b33*r325 + ---*b32 *b33*r324
4 2 4
r32=-----------------------------------------------------------------
a23*b31*b32
1 2 1 1 2
- ---*b31 *r324 + ---*b31*b32*r325 + ---*b32 *r324
4 2 4
r33=-----------------------------------------------------
a23*b31
1 2 1 3 2
- ---*b31 *r324 + ---*b31*b32*r325 + ---*b33 *r324
4 2 4
r34=-----------------------------------------------------
a23*b32
3
---*b33*r324
2
r35=--------------
a23
1 2 1 3 2
- ---*b31 *r324 + ---*b31*b32*r325 + ---*b32 *r324
4 2 4
r36=-----------------------------------------------------
a23*b32
1 1
---*b31*b33*r324 + ---*b32*b33*r325
2 2
r37=-------------------------------------
a23*b32
1 1
---*b31*r324 + ---*b32*r325
2 2
r38=-----------------------------
a23
1
---*b31*r325
2
r39=--------------
a23
1 2 2 1 2
r310=( - ---*a23 *a33*b31 *r324 + ---*a23 *a33*b31*b32*r325
4 2
1 2 2 1 2
+ ---*a23 *a33*b33 *r324 + ---*a23*b31*b32*b33 *r333
4 4
1 2 3
- ---*a33*b31*b32*b33 *r354)/(a23 *b31*b32)
8
r311
1 2 1 1
---*a23 *a33*b33*r324 + ---*a23*b31*b32*b33*r333 - ---*a33*b31*b32*b33*r354
2 2 4
=-----------------------------------------------------------------------------
3
a23 *b31
1 2 2 1 2
r312=( - ---*a23 *a33*b31 *r324 + ---*a23 *a33*b31*b32*r325
4 2
1 2 2 1 3 1 3
+ ---*a23 *a33*b32 *r324 + ---*a23*b31*b32 *r333 - ---*a33*b31*b32 *r354)
4 4 8
3
/(a23 *b31*b32)
r313
1 2 1 1
---*a23 *a33*b33*r324 + ---*a23*b31*b32*b33*r333 - ---*a33*b31*b32*b33*r354
2 2 4
=-----------------------------------------------------------------------------
3
a23 *b32
1 2 1 1
---*a23 *a33*r324 + ---*a23*b31*b32*r333 - ---*a33*b31*b32*r354
2 2 4
r314=-----------------------------------------------------------------
3
a23
1 2 1 2 1 2
---*a23 *a33*r325 + ---*a23*b31 *r333 - ---*a33*b31 *r354
2 4 8
r315=-----------------------------------------------------------
3
a23
1 2 1 1 2
---*a23 *b33*r354 + ---*a23*a33*b33*r333 - ---*a33 *b33*r354
2 2 4
r316=--------------------------------------------------------------
3
a23
1 2 1 1 2
---*a23 *b32*r354 + ---*a23*a33*b32*r333 - ---*a33 *b32*r354
2 2 4
r317=--------------------------------------------------------------
3
a23
1 2 1 1 2
---*a23 *b31*r354 + ---*a23*a33*b31*r333 - ---*a33 *b31*r354
2 2 4
r318=--------------------------------------------------------------
3
a23
1 2 1 2 1 3
---*a23 *a33*r354 + ---*a23*a33 *r333 - ---*a33 *r354
2 4 8
r319=-------------------------------------------------------
3
a23
1 2 1 2
- ---*b31 *r324 + b31*b32*r325 + ---*b33 *r324
2 2
r320=-------------------------------------------------
b31*b32
b33*r324
r321=----------
b31
1 2 1 2
- ---*b31 *r324 + b31*b32*r325 + ---*b32 *r324
2 2
r322=-------------------------------------------------
b31*b32
b33*r324
r323=----------
b32
1
a23*b33*r333 - ---*a33*b33*r354
2
r326=---------------------------------
2
a23
1
a23*b32*r333 - ---*a33*b32*r354
2
r327=---------------------------------
2
a23
1
a23*b31*r333 - ---*a33*b31*r354
2
r328=---------------------------------
2
a23
2 1 2
a23 *r354 + a23*a33*r333 - ---*a33 *r354
2
r329=------------------------------------------
2
a23
1
---*b33*r354
2
r330=--------------
a23
1
---*b32*r354
2
r331=--------------
a23
1
---*b31*r354
2
r332=--------------
a23
r334=r354
r335=0
r336=0
r337=0
r338=0
r339=0
r340=0
r341=0
r342=0
r343=0
r344=0
r345=0
r346=0
r347=0
r348=0
r349=0
1
---*b33*r354
2
r350=--------------
a23
1
---*b32*r354
2
r351=--------------
a23
1
---*b31*r354
2
r352=--------------
a23
1
---*a33*r354
2
r353=--------------
a23
r355=0
c22=0
c11=0
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r324, r325, r333, r354, a33, b32, b33, b31, a23
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{b33,b31,a23,b32}
Relevance for the application:
The system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2
HAM=2*u2*u3*a23 + u3 *a33 + u3*v1*b31 + u3*v2*b32 + u3*v3*b33
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following 4 first integrals:
2 3 1 2 2 2 1 2 2
FI=u1 *u2*u3*a23 + ---*u1 *u3 *a23 *a33 + ---*u1 *u3*v1*a23 *b31
2 2
1 2 2 1 2 2 3 3
+ ---*u1 *u3*v2*a23 *b32 + ---*u1 *u3*v3*a23 *b33 + u2 *u3*a23
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2
+ ---*u2 *u3*v1*a23 *b31 + ---*u2 *u3*v2*a23 *b32 + ---*u2 *u3*v3*a23 *b33
2 2 2
3 3 1 2 1 2
+ u2*u3 *(a23 - ---*a23*a33 ) - ---*u2*u3 *v1*a23*a33*b31
2 2
1 2 1 2
- ---*u2*u3 *v2*a23*a33*b32 - ---*u2*u3 *v3*a23*a33*b33
2 2
4 1 2 1 3 3 1 2 1 2
+ u3 *(---*a23 *a33 - ---*a33 ) + u3 *v1*(---*a23 *b31 - ---*a33 *b31)
2 8 2 4
3 1 2 1 2
+ u3 *v2*(---*a23 *b32 - ---*a33 *b32)
2 4
3 1 2 1 2 1 2 2 2
+ u3 *v3*(---*a23 *b33 - ---*a33 *b33) - ---*u3 *v1 *a33*b31
2 4 8
1 2 1 2
- ---*u3 *v1*v2*a33*b31*b32 - ---*u3 *v1*v3*a33*b31*b33
4 4
1 2 2 2 1 2 1 2 2 2
- ---*u3 *v2 *a33*b32 - ---*u3 *v2*v3*a33*b32*b33 - ---*u3 *v3 *a33*b33
8 4 8
1
= a product of the elements of: {---,
8
u3,
2*u2*a23 + u3*a33 + v1*b31 + v2*b32 + v3*b33,
2 2 2 2 2 2 2
4*u1 *a23 + 4*u2 *a23 - 2*u2*u3*a23*a33 + u3 *(4*a23 - a33 )
- u3*v1*a33*b31 - u3*v2*a33*b32 - u3*v3*a33*b33}
{HAM,FI} = 0
2 2 2 3 2 2
FI=u2 *u3 *a23 + u2*u3 *a23*a33 + u2*u3 *v1*a23*b31 + u2*u3 *v2*a23*b32
2 1 4 2 1 3 1 3
+ u2*u3 *v3*a23*b33 + ---*u3 *a33 + ---*u3 *v1*a33*b31 + ---*u3 *v2*a33*b32
4 2 2
1 3 1 2 2 2 1 2
+ ---*u3 *v3*a33*b33 + ---*u3 *v1 *b31 + ---*u3 *v1*v2*b31*b32
2 4 2
1 2 1 2 2 2 1 2
+ ---*u3 *v1*v3*b31*b33 + ---*u3 *v2 *b32 + ---*u3 *v2*v3*b32*b33
2 4 2
1 2 2 2
+ ---*u3 *v3 *b33
4
1
= a product of the elements of: {---,
4
u3,
u3,
2*u2*a23 + u3*a33 + v1*b31 + v2*b32 + v3*b33,
2*u2*a23 + u3*a33 + v1*b31 + v2*b32 + v3*b33}
{HAM,FI} = 0
2 2 2 1 2 2
FI=u2*u3*v1 *a23 + u2*u3*v2 *a23 + u2*u3*v3 *a23 + ---*u3 *v1 *a33
2
1 2 2 1 2 2 1 3 1 2
+ ---*u3 *v2 *a33 + ---*u3 *v3 *a33 + ---*u3*v1 *b31 + ---*u3*v1 *v2*b32
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 3
+ ---*u3*v1 *v3*b33 + ---*u3*v1*v2 *b31 + ---*u3*v1*v3 *b31 + ---*u3*v2 *b32
2 2 2 2
1 2 1 2 1 3
+ ---*u3*v2 *v3*b33 + ---*u3*v2*v3 *b32 + ---*u3*v3 *b33
2 2 2
1
= a product of the elements of: {---,
2
2 2 2
v1 + v2 + v3 ,
u3,
2*u2*a23 + u3*a33 + v1*b31 + v2*b32 + v3*b33}
{HAM,FI} = 0
FI=u2*u3*v1*v2*a23*b31*b32 + u2*u3*v1*v3*a23*b31*b33
2 1 2 1 2
+ u2*u3*v2 *( - ---*a23*b31 + ---*a23*b32 ) + u2*u3*v2*v3*a23*b32*b33
2 2
2 1 2 1 2 1 2
+ u2*u3*v3 *( - ---*a23*b31 + ---*a23*b33 ) + ---*u3 *v1*v2*a33*b31*b32
2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 2
+ ---*u3 *v1*v3*a33*b31*b33 + u3 *v2 *( - ---*a33*b31 + ---*a33*b32 )
2 4 4
1 2 2 2 1 2 1 2
+ ---*u3 *v2*v3*a33*b32*b33 + u3 *v3 *( - ---*a33*b31 + ---*a33*b33 )
2 4 4
1 2 2 1 2 2
+ ---*u3*v1 *v2*b31 *b32 + ---*u3*v1 *v3*b31 *b33
2 2
2 1 3 3 2 3
+ u3*v1*v2 *( - ---*b31 + ---*b31*b32 ) + ---*u3*v1*v2*v3*b31*b32*b33
4 4 2
2 1 3 3 2
+ u3*v1*v3 *( - ---*b31 + ---*b31*b33 )
4 4
3 1 2 1 3
+ u3*v2 *( - ---*b31 *b32 + ---*b32 )
4 4
2 1 2 3 2
+ u3*v2 *v3*( - ---*b31 *b33 + ---*b32 *b33)
4 4
2 1 2 3 2
+ u3*v2*v3 *( - ---*b31 *b32 + ---*b32*b33 )
4 4
3 1 2 1 3
+ u3*v3 *( - ---*b31 *b33 + ---*b33 )
4 4
1
= a product of the elements of: { - ---,
4
u3,
2 2 2
- 2*v1*v2*b31*b32 - 2*v1*v3*b31*b33 + v2 *(b31 - b32 ) - 2*v2*v3*b32*b33
2 2 2
+ v3 *(b31 - b33 ),
2*u2*a23 + u3*a33 + v1*b31 + v2*b32 + v3*b33}
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=2*u2*u3*a23 + u3**2*a33 + u3*v1*b31 + u3*v2*b32 + u3*v3*b33$
FI=u1**2*u2*u3*a23**3 + 1/2*u1**2*u3**2*a23**2*a33 + 1/2*u1**2*u3*v1*a23**2*b31
+ 1/2*u1**2*u3*v2*a23**2*b32 + 1/2*u1**2*u3*v3*a23**2*b33 + u2**3*u3*a23**3 + 1/
2*u2**2*u3*v1*a23**2*b31 + 1/2*u2**2*u3*v2*a23**2*b32 + 1/2*u2**2*u3*v3*a23**2*
b33 + u2*u3**3*(a23**3 - 1/2*a23*a33**2) - 1/2*u2*u3**2*v1*a23*a33*b31 - 1/2*u2*
u3**2*v2*a23*a33*b32 - 1/2*u2*u3**2*v3*a23*a33*b33 + u3**4*(1/2*a23**2*a33 - 1/8
*a33**3) + u3**3*v1*(1/2*a23**2*b31 - 1/4*a33**2*b31) + u3**3*v2*(1/2*a23**2*b32
- 1/4*a33**2*b32) + u3**3*v3*(1/2*a23**2*b33 - 1/4*a33**2*b33) - 1/8*u3**2*v1**
2*a33*b31**2 - 1/4*u3**2*v1*v2*a33*b31*b32 - 1/4*u3**2*v1*v3*a33*b31*b33 - 1/8*
u3**2*v2**2*a33*b32**2 - 1/4*u3**2*v2*v3*a33*b32*b33 - 1/8*u3**2*v3**2*a33*b33**
2$
FI=u2**2*u3**2*a23**2 + u2*u3**3*a23*a33 + u2*u3**2*v1*a23*b31 + u2*u3**2*v2*a23
*b32 + u2*u3**2*v3*a23*b33 + 1/4*u3**4*a33**2 + 1/2*u3**3*v1*a33*b31 + 1/2*u3**3
*v2*a33*b32 + 1/2*u3**3*v3*a33*b33 + 1/4*u3**2*v1**2*b31**2 + 1/2*u3**2*v1*v2*
b31*b32 + 1/2*u3**2*v1*v3*b31*b33 + 1/4*u3**2*v2**2*b32**2 + 1/2*u3**2*v2*v3*b32
*b33 + 1/4*u3**2*v3**2*b33**2$
FI=u2*u3*v1**2*a23 + u2*u3*v2**2*a23 + u2*u3*v3**2*a23 + 1/2*u3**2*v1**2*a33 + 1
/2*u3**2*v2**2*a33 + 1/2*u3**2*v3**2*a33 + 1/2*u3*v1**3*b31 + 1/2*u3*v1**2*v2*
b32 + 1/2*u3*v1**2*v3*b33 + 1/2*u3*v1*v2**2*b31 + 1/2*u3*v1*v3**2*b31 + 1/2*u3*
v2**3*b32 + 1/2*u3*v2**2*v3*b33 + 1/2*u3*v2*v3**2*b32 + 1/2*u3*v3**3*b33$
FI=u2*u3*v1*v2*a23*b31*b32 + u2*u3*v1*v3*a23*b31*b33 + u2*u3*v2**2*( - 1/2*a23*
b31**2 + 1/2*a23*b32**2) + u2*u3*v2*v3*a23*b32*b33 + u2*u3*v3**2*( - 1/2*a23*b31
**2 + 1/2*a23*b33**2) + 1/2*u3**2*v1*v2*a33*b31*b32 + 1/2*u3**2*v1*v3*a33*b31*
b33 + u3**2*v2**2*( - 1/4*a33*b31**2 + 1/4*a33*b32**2) + 1/2*u3**2*v2*v3*a33*b32
*b33 + u3**2*v3**2*( - 1/4*a33*b31**2 + 1/4*a33*b33**2) + 1/2*u3*v1**2*v2*b31**2
*b32 + 1/2*u3*v1**2*v3*b31**2*b33 + u3*v1*v2**2*( - 1/4*b31**3 + 3/4*b31*b32**2)
+ 3/2*u3*v1*v2*v3*b31*b32*b33 + u3*v1*v3**2*( - 1/4*b31**3 + 3/4*b31*b33**2) +
u3*v2**3*( - 1/4*b31**2*b32 + 1/4*b32**3) + u3*v2**2*v3*( - 1/4*b31**2*b33 + 3/4
*b32**2*b33) + u3*v2*v3**2*( - 1/4*b31**2*b32 + 3/4*b32*b33**2) + u3*v3**3*( - 1
/4*b31**2*b33 + 1/4*b33**3)$