Solution 3 to problem e3null
Expressions |
Parameters |
Relevance |
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Expressions
The solution is given through the following expressions:
1 2
- ---*b33
4
a22=-------------
c33
1 2
- ----*b33
12
a33=--------------
c33
b22=0
b31=0
b32=0
c12=0
c13=0
c22=0
c23=0
1
---*b33*m3
6
n3=------------
c33
4*c33*n1
m1=----------
b33
4*c33*n2
m2=----------
b33
1 2 3 2 2
- ---*b33 *m3 *p45 - c33 *m3*n1 *p45
9
r6=---------------------------------------
2 2
b33 *c33 *n1
1 2 2 2 2
----*b33 *m3 *n2*p45 - 3*c33 *n1 *n2*p45
12
r5=------------------------------------------
3
b33 *c33*n1
1 2 2 2 2
----*b33 *m3 *p45 - 3*c33 *n1 *p45
12
r4=------------------------------------
3
b33 *c33
1 2 3 1 2 2
- ----*b33 *m3 *p45 - ---*c33 *m3*n1 *p45
16 4
r3=--------------------------------------------
3
b33*c33 *n1
3 2 2 3 2 2
- ---*b33 *m3 *n2*p45 - ---*c33 *n1 *n2*p45
8 2
r2=----------------------------------------------
2 2
b33 *c33 *n1
3 2 2 3 2 2
- ---*b33 *m3 *p45 - ---*c33 *n1 *p45
8 2
r1=----------------------------------------
2 2
b33 *c33
8
- ---*m3*n2*p45
3
q19=------------------
b33*n1
8
- ---*m3*p45
3
q18=---------------
b33
2
---*m3*n2*p45
3
q16=---------------
c33*n1
2
---*m3*p45
3
q15=------------
c33
2 2 2 2 2 2 2
---*b33 *m3 *p45 + c33 *n1 *p45 - 7*c33 *n2 *p45
9
q14=--------------------------------------------------
2
b33 *c33*n1
- 14*c33*n2*p45
q13=------------------
2
b33
1
- ---*m3*n2*p45
6
q12=------------------
c33*n1
2 2
n1 *p45 - n2 *p45
q11=-------------------
b33*n1
- n2*p45
q10=-----------
b33
2 2 2 2 2
---*b33 *m3 *p45 - 6*c33 *n1 *p45
9
q9=-----------------------------------
2
b33 *c33*n1
1
- ---*m3*p45
6
q8=---------------
c33
- n2*p45
q7=-----------
b33
5
----*b33*m3*n2*p45
12
q5=--------------------
2
c33 *n1
5
----*b33*m3*p45
12
q4=-----------------
2
c33
1 2 2 1 2 2 5 2 2
----*b33 *m3 *p45 + ---*c33 *n1 *p45 + ---*c33 *n2 *p45
36 4 4
q3=---------------------------------------------------------
3
c33 *n1
5
---*n2*p45
2
q2=------------
c33
1 2 2 3 2 2
----*b33 *m3 *p45 + ---*c33 *n1 *p45
36 2
q1=--------------------------------------
3
c33 *n1
p50=0
- 2*c33*n2*p45
p49=-----------------
b33*n1
- 2*c33*p45
p48=--------------
b33
1
- ----*b33*m3*p45
18
p47=--------------------
c33*n1
n2*p45
p46=--------
n1
2
---*m3*p45
9
p44=------------
n1
p43=0
8
- ---*n2*p45
3
p42=---------------
n1
p41=0
p40=0
2
---*m3*p45
9
p39=------------
n1
p38= - 3*p45
p37=0
5 2
----*b33 *m3*p45
18
p36=------------------
2
c33 *n1
2
---*b33*n2*p45
3
p35=----------------
c33*n1
p34=0
1 2
----*b33 *m3*p45
18
p33=------------------
2
c33 *n1
p32=0
1 2
----*b33 *m3*p45
18
p31=------------------
2
c33 *n1
2
---*c33*n2*p45
3
p30=----------------
b33*n1
2
---*c33*p45
3
p29=-------------
b33
1
----*b33*m3*p45
18
p28=-----------------
c33*n1
1
---*n2*p45
3
p27=------------
n1
1
p26=---*p45
3
2
---*c33*n2*p45
3
p25=----------------
b33*n1
p24=0
1
p23= - ---*p45
3
1
---*b33*n2*p45
2
p22=----------------
c33*n1
p21=0
p20=0
2
---*b33*n2*p45
3
p19=----------------
c33*n1
2
- ---*b33*p45
3
p18=----------------
c33
2
---*b33*n2*p45
3
p17=----------------
c33*n1
2
---*c33*p45
3
p16=-------------
b33
1
----*b33*m3*p45
18
p15=-----------------
c33*n1
1
---*n2*p45
3
p14=------------
n1
1
---*b33*p45
2
p13=-------------
c33
p12=0
2
---*b33*p45
3
p11=-------------
c33
1 3
----*b33 *m3*p45
24
p10=------------------
3
c33 *n1
1 2
---*b33 *n2*p45
4
p9=-----------------
2
c33 *n1
1 2
---*b33 *p45
4
p8=--------------
2
c33
1 3
- ----*b33 *m3*p45
36
p7=---------------------
3
c33 *n1
p6=0
1 3
- ----*b33 *m3*p45
36
p5=---------------------
3
c33 *n1
1 2
- ---*b33 *n2*p45
6
p4=--------------------
2
c33 *n1
1 2
- ---*b33 *p45
6
p3=-----------------
2
c33
1 2
- ---*b33 *n2*p45
6
p2=--------------------
2
c33 *n1
1 2
- ---*b33 *p45
6
p1=-----------------
2
c33
k104=0
k103=0
k101=0
k100=0
k99=0
k98=0
k97=0
k96=0
k95=0
k94=0
k93=0
k92=0
k90=0
k89=0
k88=0
k87=0
k86=0
k85=0
k84=0
2
---*b33*p45
9
k83=-------------
n1
k82=0
k81=0
k80=0
k79=0
k78=0
k77=0
1 2
- ---*b33 *p45
9
k76=-----------------
c33*n1
k75=0
k74=0
k73=0
k72=0
k71=0
2
---*b33*p45
9
k70=-------------
n1
k69=0
k68=0
k67=0
k66=0
1 3
---*b33 *p45
6
k65=--------------
2
c33 *n1
k64=0
k63=0
1 3
----*b33 *p45
18
k62=---------------
2
c33 *n1
k61=0
1 3
----*b33 *p45
18
k60=---------------
2
c33 *n1
k59=0
k58=0
k57=0
k56=0
1
- ---*c33*p45
9
k55=----------------
n1
k54=0
k53=0
k52=0
k51=0
2
- ---*c33*p45
9
k50=----------------
n1
k49=0
k48=0
k47=0
k46=0
k45=0
1 2
- ---*b33 *p45
9
k44=-----------------
c33*n1
k43=0
1 2
- ----*b33 *p45
18
k42=------------------
c33*n1
k41=0
k40=0
k39=0
k38=0
k37=0
k36=0
k35=0
k34=0
k33=0
k32=0
k31=0
k30=0
k28=0
k27=0
k26=0
1
- ---*c33*p45
9
k25=----------------
n1
k24=0
k23=0
k21=0
1 2
- ----*b33 *p45
18
k20=------------------
c33*n1
k19=0
k18=0
k17=0
k16=0
k14=0
k13=0
1 4
- ----*b33 *p45
24
k12=------------------
3
c33 *n1
k11=0
1 4
- ----*b33 *p45
24
k10=------------------
3
c33 *n1
k9=0
k8=0
k7=0
k6=0
1 4
- -----*b33 *p45
144
k5=-------------------
3
c33 *n1
k4=0
1 4
- ----*b33 *p45
72
k3=------------------
3
c33 *n1
k2=0
1 4
- -----*b33 *p45
144
k1=-------------------
3
c33 *n1
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
c33,m3,p45,n2,b33,n1
Relevance for the application:
The following expression INT is a first
integral for the Hamiltonian HAM:
3 2 3 2 3 2 2 2
HAM=( - 3*b33 *u1 - 3*b33 *u2 - b33 *u3 + 12*b33 *c33*u3*v3 + 2*b33 *m3*u3
2 2
+ 12*b33*c33 *v3 + 12*b33*c33*m3*v3 + 12*b33*c33*n1*u1 + 12*b33*c33*n2*u2
2 2
+ 48*c33 *n1*v1 + 48*c33 *n2*v2)/(12*b33*c33)
7 4 7 2 2 7 2 2 7 4
INT=(p45*( - b33 *u1 - 2*b33 *u1 *u2 - 6*b33 *u1 *u3 - b33 *u2
7 2 2 6 2 6 2
- 6*b33 *u2 *u3 + 8*b33 *c33*u1 *u3*v3 + 8*b33 *c33*u2 *u3*v3
6 3 6 2 6 2
+ 24*b33 *c33*u3 *v3 - 4*b33 *m3*u1 *u3 - 4*b33 *m3*u2 *u3
6 3 5 2 2 2 5 2 2 2
+ 6*b33 *m3*u3 - 8*b33 *c33 *u1 *v2 - 8*b33 *c33 *u2 *v1
5 2 2 2 5 2
- 16*b33 *c33 *u2 *v2 - 16*b33 *c33 *u2*u3*v2*v3
5 2 5 2 5 2
+ 8*b33 *c33*m3*u1 *v3 + 8*b33 *c33*m3*u2 *v3 + 40*b33 *c33*m3*u3 *v3
5 3 5 2 5 2
- 24*b33 *c33*n1*u1 - 24*b33 *c33*n1*u1*u2 + 36*b33 *c33*n1*u1*u3
5 2 5 3 5 2
- 24*b33 *c33*n2*u1 *u2 - 24*b33 *c33*n2*u2 + 36*b33 *c33*n2*u2*u3
5 2 2 5 2 2 4 3 2
+ 4*b33 *m3 *u1 + 4*b33 *m3 *u2 + 32*b33 *c33 *u3*v1 *v3
4 3 2 4 2 2
+ 32*b33 *c33 *u3*v2 *v3 + 8*b33 *c33 *m3*u3*v1
4 2 2 4 2 2
+ 8*b33 *c33 *m3*u3*v2 - 8*b33 *c33 *m3*u3*v3
4 2 4 2 2
- 96*b33 *c33 *n1*u1*u2*v2 + 96*b33 *c33 *n1*u2 *v1
4 2 2 4 2 2
+ 72*b33 *c33 *n1*u3 *v1 + 96*b33 *c33 *n2*u1 *v2
4 2 2 4 2
+ 96*b33 *c33 *n2*u2 *v2 + 96*b33 *c33 *n2*u2*u3*v3
4 2 2 4
+ 72*b33 *c33 *n2*u3 *v2 + 60*b33 *c33*m3*n1*u1*u3
4 4 3 3 4 4
+ 60*b33 *c33*m3*n2*u2*u3 - 9*b33 *m3 *u3 - 16*b33 *c33 *v1
3 4 2 2 3 4 4 3 3 2
- 32*b33 *c33 *v1 *v2 - 16*b33 *c33 *v2 + 32*b33 *c33 *m3*v1 *v3
3 3 2 3 3 2
+ 32*b33 *c33 *m3*v2 *v3 + 48*b33 *c33 *n1*u1*v2
3 3 2 3 3
+ 144*b33 *c33 *n1*u1*v3 - 48*b33 *c33 *n1*u2*v1*v2
3 3 3 3 2
- 432*b33 *c33 *n1*u3*v1*v3 + 48*b33 *c33 *n2*u2*v1
3 3 2 3 3 2
+ 48*b33 *c33 *n2*u2*v2 + 144*b33 *c33 *n2*u2*v3
3 3 3 2 2 2
- 384*b33 *c33 *n2*u3*v2*v3 + 32*b33 *c33 *m3 *v1
3 2 2 2 3 2
+ 32*b33 *c33 *m3 *v2 + 96*b33 *c33 *m3*n1*u1*v3
3 2 3 2
- 24*b33 *c33 *m3*n1*u3*v1 + 96*b33 *c33 *m3*n2*u2*v3
3 2 3 2 2 2
- 24*b33 *c33 *m3*n2*u3*v2 + 216*b33 *c33 *n1 *u1
3 2 2 2 3 2
+ 36*b33 *c33 *n1 *u2 + 360*b33 *c33 *n1*n2*u1*u2
3 2 2 2 3 3 3 2
+ 180*b33 *c33 *n2 *u2 - 16*b33 *c33*m3 *v3 - 54*b33 *c33*m3 *n1*u1
3 2 2 4 3
- 54*b33 *c33*m3 *n2*u2 + 96*b33 *c33 *n1*v1
2 4 2 2 4 2
+ 96*b33 *c33 *n1*v1*v2 - 288*b33 *c33 *n1*v1*v3
2 4 2 2 4 3
+ 96*b33 *c33 *n2*v1 *v2 + 96*b33 *c33 *n2*v2
2 4 2 2 3
- 288*b33 *c33 *n2*v2*v3 - 384*b33 *c33 *m3*n1*v1*v3
2 3 2 3 2
- 384*b33 *c33 *m3*n2*v2*v3 + 144*b33 *c33 *n1 *u2*v2
2 3 2 3
- 144*b33 *c33 *n1*n2*u1*v2 - 144*b33 *c33 *n1*n2*u2*v1
2 3 2 2 2 2
- 144*b33 *c33 *n2 *u2*v2 + 12*b33 *c33 *m3 *n1*v1
2 2 2 2 2 2
+ 12*b33 *c33 *m3 *n2*v2 - 36*b33 *c33 *m3*n1 *u3
4 2 2 4 2 2
- 864*b33*c33 *n1 *v1 + 144*b33*c33 *n1 *v2
4 4 2 2
- 2016*b33*c33 *n1*n2*v1*v2 - 1008*b33*c33 *n2 *v2
3 2 3 3
- 144*b33*c33 *m3*n1 *v3 - 216*b33*c33 *n1 *u1
3 2 4 3 4 2
- 216*b33*c33 *n1 *n2*u2 - 432*c33 *n1 *v1 - 432*c33 *n1 *n2*v2))/(
3 3
144*b33 *c33 *n1)
And again in machine readable form:
HAM=( - 3*b33**3*u1**2 - 3*b33**3*u2**2 - b33**3*u3**2 + 12*b33**2*c33*u3*v3 + 2
*b33**2*m3*u3 + 12*b33*c33**2*v3**2 + 12*b33*c33*m3*v3 + 12*b33*c33*n1*u1 + 12*
b33*c33*n2*u2 + 48*c33**2*n1*v1 + 48*c33**2*n2*v2)/(12*b33*c33)$
INT=(p45*( - b33**7*u1**4 - 2*b33**7*u1**2*u2**2 - 6*b33**7*u1**2*u3**2 - b33**7
*u2**4 - 6*b33**7*u2**2*u3**2 + 8*b33**6*c33*u1**2*u3*v3 + 8*b33**6*c33*u2**2*u3
*v3 + 24*b33**6*c33*u3**3*v3 - 4*b33**6*m3*u1**2*u3 - 4*b33**6*m3*u2**2*u3 + 6*
b33**6*m3*u3**3 - 8*b33**5*c33**2*u1**2*v2**2 - 8*b33**5*c33**2*u2**2*v1**2 - 16
*b33**5*c33**2*u2**2*v2**2 - 16*b33**5*c33**2*u2*u3*v2*v3 + 8*b33**5*c33*m3*u1**
2*v3 + 8*b33**5*c33*m3*u2**2*v3 + 40*b33**5*c33*m3*u3**2*v3 - 24*b33**5*c33*n1*
u1**3 - 24*b33**5*c33*n1*u1*u2**2 + 36*b33**5*c33*n1*u1*u3**2 - 24*b33**5*c33*n2
*u1**2*u2 - 24*b33**5*c33*n2*u2**3 + 36*b33**5*c33*n2*u2*u3**2 + 4*b33**5*m3**2*
u1**2 + 4*b33**5*m3**2*u2**2 + 32*b33**4*c33**3*u3*v1**2*v3 + 32*b33**4*c33**3*
u3*v2**2*v3 + 8*b33**4*c33**2*m3*u3*v1**2 + 8*b33**4*c33**2*m3*u3*v2**2 - 8*b33
**4*c33**2*m3*u3*v3**2 - 96*b33**4*c33**2*n1*u1*u2*v2 + 96*b33**4*c33**2*n1*u2**
2*v1 + 72*b33**4*c33**2*n1*u3**2*v1 + 96*b33**4*c33**2*n2*u1**2*v2 + 96*b33**4*
c33**2*n2*u2**2*v2 + 96*b33**4*c33**2*n2*u2*u3*v3 + 72*b33**4*c33**2*n2*u3**2*v2
+ 60*b33**4*c33*m3*n1*u1*u3 + 60*b33**4*c33*m3*n2*u2*u3 - 9*b33**4*m3**3*u3 -
16*b33**3*c33**4*v1**4 - 32*b33**3*c33**4*v1**2*v2**2 - 16*b33**3*c33**4*v2**4 +
32*b33**3*c33**3*m3*v1**2*v3 + 32*b33**3*c33**3*m3*v2**2*v3 + 48*b33**3*c33**3*
n1*u1*v2**2 + 144*b33**3*c33**3*n1*u1*v3**2 - 48*b33**3*c33**3*n1*u2*v1*v2 - 432
*b33**3*c33**3*n1*u3*v1*v3 + 48*b33**3*c33**3*n2*u2*v1**2 + 48*b33**3*c33**3*n2*
u2*v2**2 + 144*b33**3*c33**3*n2*u2*v3**2 - 384*b33**3*c33**3*n2*u3*v2*v3 + 32*
b33**3*c33**2*m3**2*v1**2 + 32*b33**3*c33**2*m3**2*v2**2 + 96*b33**3*c33**2*m3*
n1*u1*v3 - 24*b33**3*c33**2*m3*n1*u3*v1 + 96*b33**3*c33**2*m3*n2*u2*v3 - 24*b33
**3*c33**2*m3*n2*u3*v2 + 216*b33**3*c33**2*n1**2*u1**2 + 36*b33**3*c33**2*n1**2*
u2**2 + 360*b33**3*c33**2*n1*n2*u1*u2 + 180*b33**3*c33**2*n2**2*u2**2 - 16*b33**
3*c33*m3**3*v3 - 54*b33**3*c33*m3**2*n1*u1 - 54*b33**3*c33*m3**2*n2*u2 + 96*b33
**2*c33**4*n1*v1**3 + 96*b33**2*c33**4*n1*v1*v2**2 - 288*b33**2*c33**4*n1*v1*v3
**2 + 96*b33**2*c33**4*n2*v1**2*v2 + 96*b33**2*c33**4*n2*v2**3 - 288*b33**2*c33
**4*n2*v2*v3**2 - 384*b33**2*c33**3*m3*n1*v1*v3 - 384*b33**2*c33**3*m3*n2*v2*v3
+ 144*b33**2*c33**3*n1**2*u2*v2 - 144*b33**2*c33**3*n1*n2*u1*v2 - 144*b33**2*c33
**3*n1*n2*u2*v1 - 144*b33**2*c33**3*n2**2*u2*v2 + 12*b33**2*c33**2*m3**2*n1*v1 +
12*b33**2*c33**2*m3**2*n2*v2 - 36*b33**2*c33**2*m3*n1**2*u3 - 864*b33*c33**4*n1
**2*v1**2 + 144*b33*c33**4*n1**2*v2**2 - 2016*b33*c33**4*n1*n2*v1*v2 - 1008*b33*
c33**4*n2**2*v2**2 - 144*b33*c33**3*m3*n1**2*v3 - 216*b33*c33**3*n1**3*u1 - 216*
b33*c33**3*n1**2*n2*u2 - 432*c33**4*n1**3*v1 - 432*c33**4*n1**2*n2*v2))/(144*b33
**3*c33**3*n1)$